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Orthogonal 2x2 Matrix

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, Länge, Matrix, orthonogal, Spaltenvektor

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redertec

redertec aktiv_icon

20:00 Uhr, 24.03.2011

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Es sei nun T eine beliebige reelwertige 2x2-Matrix mit dem ersten Spaltenvektor a
und dem zweiten Spaltenvektor b, f2 sei die Abbildung in der Ebene mit der Gleichung f(x) = T * x

Beweisen Sie:
Wenn die Spaltenvektoren a und b orthogonalsind und die gleiche Länge haben, so gilt für alle x, y vektoren

|f(x vektor)| = |a vektor| * |x vektor|

x(vektor) = 2
-1

y(vektor) = 1
-2

T (2x2 Matrix) = 1 -1
-1 -1

Danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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Fischers Riesz

Fischers Riesz aktiv_icon

21:23 Uhr, 24.03.2011

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musst du den beweis allgemein führen, oder für den fall, dass du diese konkrete matrixgegeben hast?
Ansatz: T=[a,b], -> Tx= a'x + b'x

redertec

redertec aktiv_icon

21:33 Uhr, 24.03.2011

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allgemein führen

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Fischers Riesz

Fischers Riesz aktiv_icon

22:17 Uhr, 24.03.2011

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∣ ∣ T x ∣ ∣^{2} = ∣ ∣ x ∣ ∣^{2} \cdot ∣ ∣ T x_{0} ∣ ∣^{2} = ∣ ∣ x ∣ ∣^{2} \cdot ∣ ∣ x_{0}^{1} a + x_{0}^{2} b ∣ ∣^{2} = ∣ ∣ x ∣ ∣^{2} \cdot ([x_{0}^{1} ∣ ∣ a ∣ ∣]^{2} + [x_{0}^{2} ∣ ∣ b ∣ ∣]^{2}) = ∣ ∣ x ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ a ∣ ∣ ([x_{0}^{1}]^{2} + [x_{0}^{2}]^{2})

wobei du die orthogonalität für

∣ ∣ a + b ∣ ∣^{2} = ∣ ∣ a ∣ ∣^{2} + ∣ ∣ b ∣ ∣^{2}

benötigst

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Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

08:28 Uhr, 25.03.2011

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eine Alternative:
Sei

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}); \vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) \Rightarrow T = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix})

. Dann ist

T \vec{x} = (\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y \\ a_{2} x + b_{2} y \end{matrix})

und damit

{(T \vec{x})}^{2} = {(a_{1} x + b_{1} y)}^{2} + {(a_{2} x + b_{2} y)}^{2}

= (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) x^{2} + (2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2}) x y + (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) y^{2}

= (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) x^{2} + (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) y^{2},

weil

2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2} = 0

wegen der Orthogonalität

= (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) x^{2} + (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) y^{2},

weil

| \vec{a} | = | \vec{b} |,

also

= (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (x^{2} + y^{2}) = {| \vec{a} |}^{2} \cdot {| \vec{x} |}^{2}

Frage beantwortet

redertec

redertec aktiv_icon

00:31 Uhr, 26.03.2011

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vielen vielen dank :-)

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