Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Paraboloid Volumenherleitung

Paraboloid Volumenherleitung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Herleitung, Paraboloid, Volumen

rose1991 aktiv_icon

15:30 Uhr, 16.10.2009

Hallo,

ich würde gerne die allgmeine Formel für einen Paraboloid herleiten.
Ein Paraboloid ist ein Körper, der entsteht, wenn eine Parabel um die

x

Achse rotiert bzw.

y

Achse.

Angenommen ich habe die Gleichung:

y =

a*xhoch2 und ich möchte im Intervall

[0; h]

das Volumen bestimmen, wie gehe ich vor??

Laut Internet müsste die Formel:

0,5 \cdot π \cdot r

hoch

2 \cdot h .

Weiß jmd. rat??
danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Herleitung der Kreiszahl Pi

Wie kann man die Kreiszahl

π

herleiten?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kugel - Oberfläche und Volumen

Wie berechnet man Kugeloberfläche und Kugelvolumen?

Kugel- und Würfelvolumen

Wie vergleicht man das Volumen einer Kugel mit dem eines Würfels?

Rentnerin

16:22 Uhr, 16.10.2009

Hallo,

ist es so gemeint, dass du eine Funktion

f : [- R; R] \to R

mit

f (x) = a x^{2}

, wobei

a > 0

sein soll? Der Graph von

f

rotiert um die y-Achse und erzeugt dadurch ein Paraboloid, dessen Höhe

H = a R^{2}

ist.

Gruß Rentnerin

rose1991 aktiv_icon

18:29 Uhr, 16.10.2009

ja, so ist es gemeint.
meinst du mit der höhe

a \cdot R

hoch 2?

Rentnerin

19:19 Uhr, 16.10.2009

Ja,

H = a \cdot R^{2}

.

Um das Volumen zu berechnen, denkst du dir das Paraboloid in horizontale Scheibchen zerlegt (halbe Gurke aufschneiden!). Zusammen ergeben die Scheibchen also das Paraboloid. Da die "Schnittfläche" auf der Oberseite eines Scheibchens größer als auf der Unterseite ist, kann man die Scheibchen endlicher Dicke nicht exakt als Zylinder auffassen und die Volumenformel für Zylinder anwenden. Dazu brauchst du einen Grenzübergang zu "unendlich dünnen" Scheibchen (Integral!).

Ein unendlich dünnes Scheibchen (Höhe

d h

) auf der Höhe

0 \leq h \leq H

hat das Volumen

r^{2} \cdot π \cdot d h = \frac{h}{a} \cdot π \cdot d h

(wegen

h = a \cdot r^{2})

.

Nun folgt:

V_{P a r a b o l o i d} = \int_{0}^{H} \frac{π}{a} \cdot h \cdot d h = \frac{π}{a} \cdot \frac{H^{2}}{2} = \frac{π}{2 \cdot a} \cdot H \cdot (a \cdot R^{2}) = \frac{π}{2} \cdot R^{2} \cdot H

rose1991 aktiv_icon

19:36 Uhr, 16.10.2009

danke erstmal für die antwort.
kannst du vllt. den rechenweg mal anders hinschreiben und vllt mal "hoch" schreiben; also zB. 2 hoch 2 ist

4,

weil man kann das kaum lesen.

geteilt kann man bei dir auch nicht lesen,
ich wäre dir sehr dankbar,
rose1991

Photon aktiv_icon

19:39 Uhr, 16.10.2009

Dann hol dir um Gottes willen einen anständigen Browser wie Firefox oder Opera, die die Formeln richtig anzeigen...

rose1991 aktiv_icon

19:41 Uhr, 16.10.2009

das

H 22,

was heißt das? damit ich den schritt wenigsten nachvollziehen kann.

(h

durch

2) 2,

oder

(h

hoch

2)^{2}

Photon aktiv_icon

19:44 Uhr, 16.10.2009

Ich mach hier mal den Fotografen: www.ubuntu-pics.de/bild/27656/2009_10_16_19_43_04_808x423_pBzqr2.png

edit: Und so sieht das in einem anständigen Browser immer aus, also bitte, tu dir das nicht an, ich kann ja nicht von jeder Antwort einen Screenshot machen. :-)

Rentnerin

19:46 Uhr, 16.10.2009

Auf der Parabel liegen die Punkte (r;h = a*r hoch 2) und daher hat ein (unendlich dünnes) Scheibchen, das sich auf der Höhe h befindet den Radius r = Wurzel (h / a) und den Flächeninhalt

r hoch 2 * pi = h / a * pi.

Die Dicke des Scheibchens ist dh; damit ist das Scheibchenvolumen

h / a * pi * dh

und dies muss von 0 bis zur Gesamthöhe H integriert werden:

V (Paraboloid) = Integral (von 0 bis H) h / a * pi * dh = Integral (von 0 bis H) pi / a * h * dh = (pi / a) * (H hoch 2 / 2) = (pi / (2*a)) * H * a * R hoch 2 = pi / 2 * H * R hoch 2.

rose1991 aktiv_icon

20:01 Uhr, 16.10.2009

danke!
ich habe noch verständnisfragen:

entspricht das

h

dem H? wenn nicht, kannst du es mir erklären?

muss man beim volumen berechnen die klammer beim integrieren nicht quadrieren?
demzurfolge müsste es doch dann lauten:

a \cdot h

hoch 2 und dann, nachdem man die stammfunktion gebildet hat

a \cdot h

hoch

2 \cdot x

also

a \cdot h

hoch

3 .

warum teilst du denn das eine

h

durch

2 .

danke für die bemühung

Rentnerin

20:15 Uhr, 16.10.2009

H ist die Gesamthöhe des Paraboloids, h ist eine beliebige Höhe zwischen 0 und H. Du bist also mitten in der Gurke. Von der Position hängt natürlich die Schnittfläche ab. Die Gurke wird zur Mitte hin immer dicker und daher nimmt auch der Rauminhalt der Scheibchen (bei gleichbleibender Dicke) zur Mitte hin zu.

Jedes (unendlich dünne) Scheibchen ist ein Zylinder mit Querschnitt r hoch 2 * pi und Höhe dh; dabei kann wegen h = a * r hoch 2 der Flächeninhalt auch als (h / a) * pi geschrieben werden. Der Rauminhalt dieses Scheibchens ist damit (h / a) * pi * dh.

Es ist damit nichts mehr zu verändern; auch nichts quadrieren. Das hast du ja schon bei r hoch 2 getan. Und beim Integral hast du die Grenzen 0 und H einzusetzen. Eine Stammfunktion von (pi / a) * h ist (pi / a) * (h hoch 2 / 2). Nur die obere Grenze liefert einen von 0 verschiedenen Wert, also insgesamt (pi / (2*a)) * H hoch 2.

P.S.
Im Übrigen kannst du für h auch y oder x schreiben. Dabei bleibt

Int (h dh) = Int (y dy) = Int (x dx)

rose1991 aktiv_icon

20:27 Uhr, 16.10.2009

danke, ich kann es nun nachvollziehen.

rose1991 aktiv_icon

22:12 Uhr, 16.10.2009

ist

h

jetzt nicht

H

durch

2,

sondern

H

durch

4,

dann würde ich nicht auf

0,5 \cdot π \cdot r

hoch

2 \cdot h

kommen,
wo ist denn da mein denkfehler,
danke

660561

660352

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?