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Partielle Differenzierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert, Mehrdimensionale Funktion, Partielle Ableitung, partielle Differenzierbarkeit

Fraenk aktiv_icon

18:46 Uhr, 06.07.2019

Hallo wertes Forum!

Ich habe 3 mehrdimensionale Funktionen gegeben und soll diese auf partielle Differenzierbarkeit untersuchen, ggf. auch auf deren partielle Ableitung, sofern möglich.

Jetzt stellt sich mir die Frage, was partielle Differenzierbarkeit genau ist. Die math. Definition ist folgende:

"Die Funktion

f

heißt in diesem Punkt

(x_{0}, y_{0})

partiell differenzierbar nach

x,

wenn die nur von einer Variable abhängige Funktion

x \to f (x; y_{0})

mit festem

y_{0}

im Punkt

x_{0}

differenzierbar ist, das heißt wenn der Differenzenquotient

lim_{h \to \infty} = \frac{f (x_{o} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

existiert."

Weil es mir recht wenig mitteilt, habe ich nach weiteren Definitionen gesucht (mit weniger Mathe-Chinesisch :-P) ) und kam zu dieser simplen, à la Dummies Erklärung:

"

f

heißt im Punkt

P

differenzierbar, wenn

f

im Punkt

P

nach jeder Variablen partiell differenzierbar ist."

Das sagt mir schon wesentlich mehr, aber ist das wirklich so "simpel"? Denn auf den ersten Blick sind alle Aufgaben nach

x,

bzw. nach

y

partiell differenzierbar..

Nun zu den Aufgaben:

a .) f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \to e^{2 x + y}

b .) g : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \to \sqrt{x^{2} + y^{2}}

c .) h : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \to ln (1 + x^{2} y^{4})

Partielle Ableitungen:

a .) \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = 2 e^{2 x + y}

und

\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = e^{2 x + y}

b .) \frac{\partial}{\partial x} g (x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

und

\frac{\partial}{\partial y} g (x, y) = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

c .) \frac{\partial}{\partial x} h (x, y) = \frac{2 x y^{4}}{1 + x^{2} y^{4}}

und

\frac{\partial}{\partial y} h (x, y) = \frac{4 y^{3} x^{2}}{1 + x^{2} y^{4}}

Ich konnte alle partiellen Ableitungen erstellen. Heißt es nun, alle sind differenzierbar? Wie sähe eine nicht partiell differenzierbare Aufgabe aus? Wenn

x

bzw,

y

nicht in der Funktion stehen würde?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Atlantik aktiv_icon

19:32 Uhr, 06.07.2019

lim_{h \to \infty} = \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

"

Muss es nicht so lauten:

lim_{h \to 0} = \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

?

Leider kann ich dir sonst nicht helfen.

mfG

Atlantik

Fraenk aktiv_icon

19:37 Uhr, 06.07.2019

Du hast vollkommen Recht, mein Fehler! Danke für den Hinweis :-)

Gruß
Fraenk

Fraenk aktiv_icon

18:15 Uhr, 09.07.2019

Hat keiner eine Idee?

Grüße
Fraenk

pwmeyer aktiv_icon

11:24 Uhr, 10.07.2019

Hallo,

bei

a)

ist die Funktion

f

aus elementaren Funktionen zusammengesetzt. Die partiellen Ableitungen lassen sich nach den gängigen Differentitationsregeln berechnen, was insbesondere heißt, dass sie existieren.

Bei

b)

ist das weitgehend genau so. Aber nicht im Nullpunkt! Dort würdest Du ja bei Deiner Formel für die partiellen Ableitungen durch 0 dividieren. Im Nullpunkt musst Du mit dem angegebenen Differenzen-Quotienten arbeiten.

Gruß pwm

pwmeyer aktiv_icon

11:24 Uhr, 10.07.2019

Hallo,

bei

a)

ist die Funktion

f

aus elementaren Funktionen zusammengesetzt. Die partiellen Ableitungen lassen sich nach den gängigen Differentitationsregeln berechnen, was insbesondere heißt, dass sie existieren.

Bei

b)

Fraenk aktiv_icon

15:42 Uhr, 10.07.2019

Alles klar, vielen Dank für die Unterstützung!

Gruß
Fraenk

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