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Partielle Integration

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Tags: Funktion, Grenzwert, Integration

 
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Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

09:55 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Hallo Zusammen

Ich sitze gerade an einem Beweis, bei dem ich nicht weiterkomme, solange ich nicht begründen kann, wieso folgender Term verschwindet:
Für fC01(n) (stetig differenzierbar und mit kompaktem Träger)

[n-1f(x)e-ikxdx]xj=-xj=

Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand sagen könnte, weshalb das null sein muss (ich weiss aus der Musterlösung, dass das so sein muss, jedoch wird dort leider nicht ausgeführt, weshalb das so ist).

Gruss
Baumstamm



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:18 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Dieses Integrall ist im allgemeinen Fall nicht 0, es geht nur gegen 0 bei k.
Der Beweis davon geht über die partielle Integration:
f(x)d(e-ikx-ik)=[f(x)e-ikx-ik]-fʹ(x)e-ikx-ikdx=fʹ(x)e-ikxikdx, weil f kompakten Träger hat.
Das letzte Integral wird durch fʹ(x)dxk abgeschätzt, was gegen 0 geht.
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

14:54 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Hallo DrBoogie

Vielen Dank für deine Antwort. Ich verstehe leider dein Argument mit dem kompakten Träger noch nicht ganz, könntest du etwas ausführen, wie der kompakte Träger mit dem Wegfall des ersten Terms deiner Integration zusammenhängt?

Gruss Baumstamm
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:17 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Da der Träger kompakt ist, gilt f(x)=0 für alle x mit x>R für ein R.
Damit gilt auch f()=f(-)=0, wenn man also den Term auswertet, kommt 0 raus.
Frage beantwortet
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

15:54 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Hallo DrBoogie

Jetzt ist mir alles klar, vielen Dank für deine Hilfe.

Gruss Baumstamm