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Permutation einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Matrix, Matrizenrechnung, permutation

Wunderblume aktiv_icon

12:34 Uhr, 01.11.2011

Hallo!

Sei

π \in S n

eine Permutation der Zahlen

{1, ..., n}

. Für eine Matrix

A \in M n, n

sei

A π

die Matrix, die aus A durch Permutation der Zeilen mit

π

entsteht, also

A π (i, \circ) = A (π (i), \circ)

.

Man soll beweisen: Ist

B \in M n, n

eine weitere Matrix, so gilt

A π \cdot B = (A \cdot B) π

.

Die

π

sind tiefgestellt, also nicht mal gerechnet.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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Bummerang

13:05 Uhr, 01.11.2011

Hallo,

betrachte A als Zeilenmatrix aus Zeilenvektoren und

B

als Spaltenmatrix aus Spaltenvektoren. Die Nummerierung der Zeilen in A ist von 1 bis

n,

die Nummerierung der Zeilen in

A_{π}

ist von

π (1)

bis

π (n)

. Diese Aufgabe ist einfaches Aufschreiben der Ergebnisse der Multiplikationen und anschließendes Vergleichen...

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13:25 Uhr, 01.11.2011

Ja aber was ist denn

A_{π}

B

ist jetzt meine Matrix: mit den Einträgen

b_{}

ij also mit

i = 1, ..., n

und

j = 1, ..., n

Jetzt hab ich genauso eine Matrix A mit den Einträgen

a_{}

ij und wieder mit

i = 1, ..., n

und

j = 1, ..., n

Wie bekomm ich dann das

A_{π}

Bummerang

13:30 Uhr, 01.11.2011

Hallo,

betrachte Dein A als Zeilenmatrix, dann ist

A = (\begin{matrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \\ ... \\ a_{n}^{T} \end{matrix})

und

A_{π} = (\begin{matrix} a_{π (1)}^{T} \\ a_{π (2)}^{T} \\ ... \\ a_{π (n)}^{T} \end{matrix})

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13:34 Uhr, 01.11.2011

In der Aufgabe steht ja, dass

A \in M_{n},_{n}

sein muss. Kann ich dann als Beweis trotzdem annehmen, dass A eine Zeilenmatrix ist?

Bummerang

13:44 Uhr, 01.11.2011

Hallo,

es handelt sich bei der Darstellung als Zeilenmatrix nur um eine verkürzte Schreibweise! die Zeilen bestehen, wie das hochgestellte

T

zeigt, aus Zeilenvektoren. Die sind natürlich aus dem

ℝ^{n}

. Und somit ist A sehr wohl Element von

M_{n, n}

. Es ist wie gesagt nur eine verkürzte Schreibweise, die es einem erspart jedes Element einzeln aufzuschreiben.

Bsp:

a_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

a_{2} = (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix})

a_{3} = (\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})

dann sind

a_{1}^{T} = (1 2 3)

a_{2}^{T} = (4 5 6)

a_{3}^{T} = (7 8 9)

und es ist

A = (\begin{matrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \\ a_{3}^{T} \end{matrix}) = (\begin{matrix} (1 2 3) \\ (4 5 6) \\ (7 8 9) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9 \end{matrix})

Wunderblume aktiv_icon

15:40 Uhr, 01.11.2011

Okay, das hab ich kapiert. Ich hab' das jetzt ausmultipliziert und hab das rausbekommen:

A_{π} \cdot B = ((a_{π} (1) \cdot b_{1}) . .

(a_{π} (n) \cdot b_{n}))

und

{(A \cdot B)}_{π} = ((a_{π} (1) \cdot b_{π} (1)) . .

(a_{π} (n) \cdot b_{π} (n)))

Aber das ist ja nicht gleich, wie kann das gelten? Oder hab ich was falsch gemacht?

hagman aktiv_icon

17:19 Uhr, 01.11.2011

Man kann

A_{Π}

aus A auch durch Multiplikation von links mit einer Permutationsmatrix

P

erhalten (genauer ist

P = E_{Π},

wobei

E

die Einheitsmatrix ist).
Die zu zeigende Aussage ist dann ganz leicht:

{(A B)}_{Π} = P \cdot (A \cdot B) = (P \cdot A) \cdot B = A_{Π} B

Wunderblume aktiv_icon

13:29 Uhr, 02.11.2011

Danke, das hab ich kapiert, aber reicht das um das zu beweisen?? Wenn ja, dann find ich es super, weil dann hab ich das Beispiel kapiert.

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