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Permutationsmatrix Beweis

Universität / Fachhochschule

12:07 Uhr, 26.11.2021

Hallo, ich soll zeigen, dass

P_{i j} A

die Zeilen i & j von A vertauscht und

A P_{i j}

die Spalten i & j. An sich ist da ja klar, aber ich bin mir unsicher, wie ich das beweisen soll. Vielen Dank im Voraus für eure Unterstützung.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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12:22 Uhr, 26.11.2021

Na, einfach multiplizieren.

Sei

P := P_{i j}

mit Einträgen

(p_{k m})

. Dann haben

p_{k m} = 1

, falls

k = i, m = j

oder

k = j, m = i

oder

k = m \neq i, j

und

0

sonst.

Multiplikation:

(P A)_{k l} = \sum_{m} p_{k m} a_{m l}

.
1. Fall

k = i

(P A)_{i l} = \sum_{m} p_{i m} a_{m l} = a_{j l}

.
2. Fall

k = j

(P A)_{j l} = \sum_{m} p_{j m} a_{m l} = a_{i l}

.
3. Fall.

k \neq i, j

(P A)_{k l} = \sum_{m} p_{k m} a_{m l} = a_{k l}

.

Damit haben:
1. die

i

-te Zeile von

P A

ist die

j

-Zeile von

A

.
2. die

j

-te Zeile von

P A

ist die

i

-Zeile von

A

.
3. die Zeilen von

P A

mit

k \neq i, j

sind genau die Zeilen von

A

.

Die Multiplikation von der anderen Seite ist ähnlich.

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