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Polynom - Ungleichung - Taylorreihe(?)

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Tags: Exponentialfunktion, Funktion, Funktionenreihen, polynom, Restglied, Taylorreihe, Ungleichung

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maximal99

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16:06 Uhr, 24.11.2014

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Hallo zusammen!
Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie ein Polynom

p (x)

so, dass

| e^{x} - p (x) |

≤

10^{- 2}

für alle

x \in [- 1, 1]

.

Ich vermute, dass das Polynom mithilfe der Taylorreihe und des Restglieds bestimmt werden soll.
Deshalb habe ich zunächst

f (x) = e^{x}

gesetzt und die Ableitungen von

f (x)

sind jeweils wieder

e^{x}

.
Doch bei der Auswahl des Entwicklungspunkts frage ich mich schon, wonach ich diesen auswählen soll, habe es mal mit der 0 probiert, da sie sich im vorgegeben Intervall befindet.

Sind meine Gedanken bis zu dieser Stelle richtig oder ist der Ansatz falsch, wenn ja, welcher muss gewählt werden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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Antwort

DrBoogie

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16:10 Uhr, 24.11.2014

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Ja, Taylorreihe im Punkt

0

(also Maclaurin-Reihe) ist der richtige Weg.

e^{x} \sim 1 + x + x^{2} / 2

dürfte die gefordete Approximation sein.

Antwort

abakus

17:08 Uhr, 24.11.2014

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Das reicht nicht. Der nächste Summand bringt für x=1 immerhin noch 0,1666... auf die Waage, damit ist die mögliche Differenz zu

e^{1}

deutlich größer als 0,01...

Antwort

DrBoogie

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17:18 Uhr, 24.11.2014

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Ja, ich dachte, das Intervall ist

[- 0.1, 0.1]

.
Man muss bis zur

4

-ten Potenz gehen.

maximal99

maximal99 aktiv_icon

16:40 Uhr, 25.11.2014

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Also gestaltet sich die Reihe so:

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} = t 4 (x)

im Entwicklungspunkt

x = 0

.

So ist das Restglied

r 3 = | f (x) - t 4 (x) | = \frac{e^{x}}{4!} \cdot x^{4}

.

An dieser Stelle weiß ich aber nicht so recht weiter.

Antwort

DrBoogie

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16:42 Uhr, 25.11.2014

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Es gibt verschiedene Formen des Restgliedes, ich weiß nicht, welchen Ihr benutzt habt.

maximal99

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16:56 Uhr, 25.11.2014

Antworten

Restglied von Lagrange:
rn= (exp(ξ))/(n

+ 1)! \cdot x^{n + 1}

Antwort

DrBoogie

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17:05 Uhr, 25.11.2014

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Dann so:

∣ R_{3} ∣ = ∣ \frac{e^{ξ} x^{4}}{4!} ∣ \leq \frac{e}{4!} \approx 0.11

- reicht nicht

∣ R_{4} ∣ = ∣ \frac{e^{ξ} x^{5}}{5!} ∣ \leq \frac{e}{5!} \approx 0.018

- reicht auch nicht

∣ R_{5} ∣ = ∣ \frac{e^{ξ} x^{6}}{6!} ∣ \leq \frac{e}{6!} \approx 0.004

- reicht.

Also brauchst Du in Wirklichkeit

5

Glieder:

e^{x} = 1 + x + x^{2} / 2 + x^{3} / 3! + x^{4} / 4! + x^{5} / 5! + R_{5}

.

Bei der Abschätzung nutzte ich, dass

e^{x}

monoton steigend ist, deshalb ist

e^{ξ} \leq e^{1} = e

für alle

ξ

aus

[- 1, 1]

. Und natürlich ist

∣ x ∣^{4} \leq 1

für alle

x

aus

[- 1, 1]

.

UPDATE. Indizes korrigiert.

maximal99

maximal99 aktiv_icon

17:12 Uhr, 25.11.2014

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Leuchte mir soweit alles ein.
Was genau wäre dann das anzugebene Polynom? Die Taylorreihe:

p (x) = 1 + x + \frac{1}{2}

x²

+ \frac{1}{6}

x³

+ \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}

?

Antwort

DrBoogie

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17:17 Uhr, 25.11.2014

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Genau. Nur dass es keine Reihe ist, sondern wirklich ein Polynom. :-)

Frage beantwortet

maximal99

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17:19 Uhr, 25.11.2014

Antworten

Okay, dann sollte die Aufgabe geklärt sein.
Danke! :-)

maximal99

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13:22 Uhr, 26.11.2014

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Gelöscht.

Antwort

DrBoogie

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14:12 Uhr, 26.11.2014

Antworten

R_{n}

gehört selber nicht zum Polynom.

maximal99

maximal99 aktiv_icon

14:14 Uhr, 26.11.2014

Antworten

Also

p (x) = 1 + x + \frac{1}{2}

x²

+ \frac{1}{6}

x³

+ \frac{1}{24} x 4 + \frac{1}{120} x 5

und

f (x) = e^{x},

dann

| f (x) - p (x) | \leq 10^{- 2}

?

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:19 Uhr, 26.11.2014

Antworten

Für

x \in [- 1, 1]

, ja.

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