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Polynome

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Tags: Beweis, polynom

Darislav aktiv_icon

14:47 Uhr, 24.11.2022

Ich freue mich über Hilfe :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

15:40 Uhr, 24.11.2022

Hallo,

bist du den Brotkrumen gefolgt, Hänsel?

Sei es, wie in der Aufgabe beschrieben.
Wenn

∣ ξ ∣ \leq 1

, dann ist alles gut und wir sind fertig.
Wenn aber nicht, wenn also

∣ ξ ∣ > 1

gilt, dann:

0 = P (ξ) = a_{0} + a_{1} ξ + \dots + a_{n - 1} ξ^{n - 1} + ξ^{n} \overset{}{\Leftrightarrow}

- (a_{0} + a_{1} ξ + \dots + a_{n - 2} ξ^{n - 2}) = a_{n - 1} ξ^{n - 1} + ξ^{n} = ξ^{n - 1} (a_{n - 1} + ξ)

Es gilt dann:

∣ a_{n - 1} + ξ ∣

\overset{(1)}{<} ∣ ξ^{n - 1} ∣ \cdot ∣ a_{n - 1} + ξ ∣

= ∣ - (a_{0} + a_{1} ξ + \dots + a_{n - 2} ξ^{n - 2}) ∣

= ∣ a_{0} + a_{1} ξ + \dots + a_{n - 2} ξ^{n - 2} ∣

\overset{(2)}{\leq} ∣ a_{0} ∣ + ∣ a_{1} ξ ∣ + \dots + ∣ a_{n - 2} ξ^{n - 2} ∣

= \sum_{i = 0}^{n - 2} ∣ a_{i} ξ^{i} ∣

\overset{(3)}{<} \sum_{i = 0}^{n - 2} ∣ a_{i} ∣

Es wäre an dir, noch zu überlegen, warum die Gleichheits- und Ungleichheitszeichen tatsächlich gelten.

A propos: Ich finde, man könnte die Ungleichung verschärfen. MMn kann Gleichheit eben dann nicht mehr gelten!

Kannst du die Ungleichung korrekt anwenden auf das gegebene Beispiel?

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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