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Polynomfunktion 4. Grades, Verhältnis Weendestelle
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionen
Funktionentheorie
Tags: Gerade durch Wendestellen, Polynomfunktion, Verhältnis, Wendestellen
 
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Ich stehe bei komplett an. Teilaufgabe habe ich (glaube ich) lösen können, da erhalte ich das Verhältnis weil -Abstand der Wendepunkte= -Abstand Wendepunkt zu weiterem Schnittpunkt der "Geraden durch die Wendepunkte" mit der Funktion Wie heißt diese spezielle Verhältniszahl? Bei habe ich mir gedacht ich bilde mal die Ableitungen, aber was ich mit denen anfangen soll weiß ich auch nicht ganz, weil 2te Ableitung gleich 0 setzen und Wendestelle ermitteln geht wegen den unbekannten Koeffizienten nicht. Bin um jeden Tipp und/oder Lösungsvorschlag dankbar!!! Aufgabenstellung, siehe Foto. Hier nochmal in Text: Aufg. (Nicht unbedingt zum Rechnen per Hand gedacht, sondern eher mit einem Computer Algebra System CAS!) Gegeben sei die Polynomfunktion 4. Grades . Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die beiden Wendepunkte und den Abstand der beiden Wendepunkte. Bestimmen Sie auch die beiden weiteren Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Funktionsgraphen und deren Abstände zu den jeweils näher gelegenen Wendepunkten. Schließlich bestimmen Sie das Verhältnis dieser Abstände zum Abstand der Wendepunkte. Was ist das für eine spezielle Verhältniszahl? Zeigen Sie, dass dieses Verhältnis ganz unabhängig von der konkreten Polynomfunktion 4. Grades ist, dass sich also allgemein dieses Verhältnis ergibt. Dafür muss man nicht betrachten, sondern es reicht dies für zu zeigen, warum? Hinweis: Beim in Rede stehenden Verhältnis können statt der Abstände auf der Geraden auch die zugehörigen Projektionen auf die x-Achse, also die jeweiligen x-Koordinaten-Differenzen der Punkte genommen werden, warum? ]   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Polynomdivision Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung Tangente / Steigung |
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Aufgabe hast du möglicherweise richtig und nur ungenau - vielleicht aber auch falsch Teilaufgabe habe ich (glaube ich) lösen können, da erhalte ich das Verhältnis Du solltest rund rausbekommen. weil - Abstand der Wendepunkte= ja, das ist richtig, genau ist dieser Abstand aber Da du ein CAS verwenden solltest, hättest du die Ergebnisse vermutlich lieber exakt und nicht numerisch gerundet angeben sollen. Also das Verhältnis von rund genau mit . Was den Namen anlangt, könntest du mal im Netz nach "Goldener Schnitt" suchen. Was anlangt verstehe ich deine Bedenken nicht. weil 2te Ableitung gleich 0 setzen und Wendestelle ermitteln geht wegen den unbekannten Koeffizienten nicht. Warum nicht? Gerade mit einem CAS sollte das doch kein Problem sein, die Lösung der quadratischen Gleichung bestimmen zu lassen. Die Angabe verrät ja auch, dass man oBdA die Koeffizienten und setzen kann und dass es fürs gesuchte Verhältnis reicht, nur die entsprechenden Strecken auf der x-Achse zu betrachten. Händisch wär das alles ziemlich lästig, aber mit einem geeigneten CAS sollte das nicht so schwer sein. Du musst halt in der ganzen Rechnung die Unbekannten und mitschleppen und wenn die zu zeigende Aussage richtig ist, müssten diese Koeffizienten sich bei der Berechnung des Verhältnisses aufheben. |
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Hallo Roman! Vielen vielen für deine Hilfe! Beispiel habe ich jetzt geschafft. Danke! Bei Beispiel habe ich jetzt versucht einfach mit den unbekannten Koeffizienten das Beispiel zu lösen. Habe zuerst die 2te ableitung gleich null gesetzt. Dann sind mir dafür 2 Werte (gelb und blau am Foto) rausgekommen. Diese habe ich als x-Werte der Wendepunkte interpretiert. Um das passende der Wendepunkte zu ermitteln habe ich in die ursprungsfunktion die x-Werte eingesetzt um auf die y-Werte der Wendestellen zu kommen. Da sind mir die Werte grün und rot rausgekommen. Aus diesen 2 ermittelten Wendestellen habe ich dann versucht die Funktionsgleichung der Geraden die durch die beiden Wendestellen geht aufzustellen. Ich habe sie genannt. (Dies habe ich getan indem ich in die klassische Form einer linearen Funktion eingesetzt habe. Wenn ich nun und gleichsetze, um alle Schnittpunkte von und zu ermitteln, kommt mir eine leere Menge raus. Ist der ganze Ansatz falsch? Von Tippfehlern gehe ich nicht aus, da ich in GeoGebra alles immer nur reinkopiert habe. Oder gibt es eine andere Möglichkeit den Abstand zwischen Wendepunkt und weiteren Schnittpunkt von der "Wendepunktgeraden" zu ermitteln? Danke, Liebe Grüße   |
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Ich hab jetzt mal mit einem anderen CAS durchrechnen lassen. Ich hänge die Berechnung mal als Bild hier dran - vielleicht hilft es dir bei der Umsetzung in GeoGebra. (Der Index 0 bezeichnet dabei die erste Komponente eines Vektors, der Index 1 die zweite) Wenn ich nun und gleichsetze, um alle Schnittpunkte von und zu ermitteln, kommt mir eine leere Menge raus. Ich hab mir den GeoGebra Wust nicht genauer angesehen, aber wenn du den Schnitt von und symbolisch ermitteln lässt, zwingst du das Programm, eine Gleichung vierten Grades allgemein in Abhängigkeit von drei Parametern zu lösen. Vielleicht hat GeoGebra da schon Probleme. Man kann es (so wie in meinem Bild) dem System einfacher machen, in dem man die Gleichung durch dividiert und damit nur mehr eine quadratische Gleichung zu lösen ist. und sind dabei die bereits berechneten x-Koordinaten der beiden Wendepunkte. In meinem Bild sind alle berechneten Größen als Funktionen in realisiert und die x-Koordinaten der beiden Wendepunkte sind demnach und .  |
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Danke!!! Hatte wohl GeoGebra einen Fehler. |
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> Die Angabe verrät ja auch, dass man oBdA die Koeffizienten und setzen kann und dass es fürs gesuchte Verhältnis reicht, nur die entsprechenden Strecken auf der -Achse zu betrachten. Eine weitere deutliche Vereinfachung bzw. Bändigung der Terme kann man übrigens durch ein (im ersten Moment vielleicht gewagt erscheinendes) "o.B.d.A. " erreichen. Dies kann man durch eine passend gewählte Verschiebung des Graphen entlang der -Achse erreichen, wodurch ja auch die beschriebenen Strecken nur verschoben werden, was deren Verhältnis zueinander nicht beeinflusst: Für ist mit "neuen" Koeffizienten , welche sich rein aus berechnen lassen. Da nur eine Streckung sowie nur eine Verschiebung, beide in -Richtung bewirken, haben sie keinen Einfluss auf die Position der Wendepunkte, wir können also mit sowie o.B.d.A. arbeiten, letztlich also mit , was die Sache dann schon mal deutlich übersichtlicher macht: Zwei Wendepunkte gibt es dann nur für , sie lauten und man ermittelt damit als Wendepunktgerade und damit dann , womit der Rest dann auch schnell erledigt ist. |
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