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Potenzgerade zweier Kreise
Universität / Fachhochschule
Tags: Kreis, Potenzgerade
 
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Liebe Freunde vom Matheplanet, ich habe eine Aufgabe zu zwei Kreisen und ihrer Potenzgerade, die mir sehr schwer fällt. Ich habe gegeben - den Kreis K_1 mit Mittelpunkt M_1 und Radius r_1 - den Kreis K_1 mit Mittelpunkt M_1 und Radius r_1 - die Kreise sind nicht konzentrisch, als M_1!=M_2 - eine Menge Erstens Ich möchte zeigen, dass p eine Gerade ist (Potenzgerade) und den Stütz- und Richtungsvektor angeben. Ich denke, ich muss die gegebene Gleichung mittels Skalarproduktbildung umformen und dann auf eine Form kommen, in der ein Stützvektor und ein Richtungsvektor vorkommen. Aber ich komme da auf nichts Sinnvolles. Ich weiß, dass dieser Richtungsvektor der Normalenverktor zur Verbindunggeraden von M_1 und M_2 ist. Zweitens Ich möchte zeigen, dass sich die beiden Kreise genau dann schneiden, wenn K_1 und p sich in denselben Punkten schneiden. Drittens Ich möchte beweisen: wenn g eine Gerade ist, die an K_1 eine Tangente im Punkt A_1 ist und an K_2 eine Tangente im Punkt A_2 ist, und S der Schnittpunkt von g und p ist, dann gilt Ich bin wirklich ratlos und bitte um eure Hilfe. Danke Prinzessinaladina Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade |
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Korrigiere deinen Angabentext. |
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Mit den Koordinatendarstellungen für sowie bedeutet die die Menge definierende Gleichung doch einfach Multiplizier das alles mal schön aus (Alternative: dritte binomische Formel!), schon steht eine lineare Gleichung in da (denn sind FESTE Parameter), die natürlich eine Gerade repräsentiert. |
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Text überarbeitet, besser komme ich mit Latex leider nicht klar Liebe Freunde vom Matheplanet, ich habe eine Aufgabe zu zwei Kreisen und ihrer Potenzgerade, die mir sehr schwer fällt. Ich habe gegeben - den Kreis mit Mittelpunkt und Radius - den Kreis mit Mittelpunkt und Radius - die Kreise sind nicht konzentrisch - eine Menge p die aus allen Punkten P besteht mit M_1 -^2= M_2 -^2 Erstens Ich möchte zeigen, dass p eine Gerade ist (Potenzgerade) und den Stütz- und Richtungsvektor angeben. Ich denke, ich muss die gegebene Gleichung mittels Skalarproduktbildung umformen und dann auf eine Form kommen, in der ein Stützvektor und ein Richtungsvektor vorkommen. Aber ich komme da auf nichts Sinnvolles. Ich weiß, dass dieser Richtungsvektor der Normalenverktor zur Verbindunggeraden von M_1 und M_2 ist. Zweitens Ich möchte zeigen, dass sich die beiden Kreise genau dann schneiden, wenn K_1 und p sich in denselben Punkten schneiden. Drittens Ich möchte beweisen: wenn g eine Gerade ist, die an K_1 eine Tangente im Punkt A_1 ist und an K_2 eine Tangente im Punkt A_2 ist, und S der Schnittpunkt von g und p ist, dann gilt |S|=|S| Ich bin wirklich ratlos und bitte um eure Hilfe. Danke Prinzessinaladina |
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Ich erhalte dann 2x(x_2-x_1) + 2y(y_2-y_1)+x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2-r_1^2+r_2^2=0 aber wie bekomme ich das wieder in die Ausgangsschreibweise, so dass ich am Ende einen Stützvektor und einen Richtungsvektor von p angeben kann? |
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Wie machst du denn das sonst, wenn du eine Geradengleichung vorliegen hast? Ist hier auch nicht anders. Als Richtungsvektor kann man nehmen. Für den Stützvektor gibt es viele Möglichkeiten, z.B. könnte man eine der Komponenten Null setzen und dann die andere gemäß Gleichung berechnen - aber da muss man auf die Sonderfälle bzw. aufpassen ... allgemein klappt auf jeden Fall , denn kann im vorliegenden Fall nicht vorkommen, denn das würde bedeuten, was ausgeschlossen wurde. |
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Hallo "Prinzessinaladina", willkommen auf dem Mathe-Planeten :-D) Sukomaki |
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HaseAndreas, es ist zwar Off-Topic, aber Du hattest hier letztenz mal einen Thread mit so einer Dreiecksgeschichte eingestellt, den kurz darauf aber wieder gelöscht. Hier wäre eine Antwort, siehe Anhang. Google auch "Satz von Ceva".   |
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Danke, lieber Kartoffelkäfer. Ich hatte die Aufgabe gelöscht, weil ich genau auf diesen Satz gestoßen war, und sich keiner im Forum gemeldet hatte. Herzliche Grüße Haseandreas |
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Hallo Sukomaki, ich teile mir den Account mit meinem Partner Haseandreas, d. h. ich darf ihn nutzen. Wir studieren beide Lehramt Mathematik und lösen gemeinsam Aufgaben. Herzliche Grüße Prinzessinaladina und Haseandreas |
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Dopplung |
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Hallo HAL9000, danke und weiter gehts. Der Richtungsvektor steht ja senkrecht auf der Geraden, die die Mittelpunkte verbindet, also hätte ich ihn ohne die Berechnung angeben können. Allerdings benötige ich ja den konstanten Term, um mit deinem Tipp einen Stützvektor berechnen zu können. Die von dir angegebene Berechnungsvorschrift - sie kommt mir bekannt vor, woher kommt sie. Wie kann ich mich darauf beziehen? Viele Grüße, Haseandreas |
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@Haseandreas Und ich dachte schon, Du hättest aus Versehen einen Beitrag der an den Matheplaneten (Matroid) gerichtet war einfach kopiert und Dein Nick Name wäre dort "Prinzessinaladina". Sorry dafür. Sukomaki |
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Ich habe die Parameterform wie in der linearen Algebra gelernt hergeleitet und komme auf den Stützvektor (0, -x_1^2 + x_2^2-y_1^2+y_2^2+r_1^2-r_2^2)/2y_2 - 2y_1) und den Richtungsvektor (1, (x_1-x_2)/(y_2 - y_1)). Ist das richtig? |
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Zumindest im Fall gibt es da Probleme. |
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Ja, ich weiß, aber ist das Ergebnis richtig, wenn ich ausschließen, dass y_2=y_1? Für die Variante (b, -a) zu nehmen und die andere Vorschrift für den Stützvektor zu nutzen, bräuchte ich einen genauen Bezug. |
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"Ausschließen" allein reicht nicht: Schließlich gibt es Mittelpunkte mit - auch für diesen Fall musst du Stütz- und Richtungsvektor angeben, sonst ist die Lösung unvollständig. |
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Stimmt. Kannst du mir bitte sagen, worauf ich mich beziehen kann, wenn ich deine Formeln für die beiden Vektoren von oben benutze? Danke |
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Warum auf irgendwas "beziehen" ? Setz es in die Geradengleichung als Probe ein, das sollte doch reichen. Wenn du partout noch einen Literaturlink zu brauchen meinst, dann such dir einen. |
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Guten Morgen, ich möchte abschließend um Hilfe bei der dritten Teilaufgabe bitten: Ich habe eine Gerade, die Tangente beider Kreise ist. Diese Tangente schneidet die Potenzgerade der Kreise in einem Punkt. Ich soll nun zeigen, dass die entstehenden Tangentenabschnitte von den Berührungspunkten zu dem Schnittpunkt gleich sind. Ich sehe das als Spezialfall, dass ich eben nicht zwei unterschiedliche Tangenten habe, die sich mit der Potenzgeraden in einem gemeinsamen Punkt schneiden, sondern, dass die beiden Tangenten identisch sind. Letztlich ist diese Abschnittsgleichheit ja das, was eine Potenzgerade ausmacht, nur wie kann ich diese Umkehrung beweisen? Vermutlich, indem ich den Schnittpunkt der Tangentengleichung mit der Gleichung für die Potenzgerade zusammenbringe und den Schnittpunkt berechne - nur wie bekomme ich beide Berührungspunkte in diese Gleichung? Ich würde mich über Unterstützung freuen. |
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Ich weiß nicht, was du da vorhast, aber Punkt 3 ist praktisch ein Einzeiler basierend auf der Definition der Potenzgerade kombiniert mit ein bisschen Pythagoras in den rechtwinkligen Dreiecken sowie . |
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Oh, natürlich. Es ist nur ein Einsetzen der über den SdP gewonnenen Ausdrücke für die Hypotenusen in die Ausgangsgleichung für die Potenzgerade. Dann kürzt sich alles. Mir fehlt da die Kreativität, danke. Und auch danke für die Geduld. Einen schönen Sonntag noch☺️ |
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