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Potenzmenge

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: aller Ereignisse, Beweis, Menge, Potenzmenge, würfeln

dihaz aktiv_icon

13:34 Uhr, 22.08.2010

Guten Tag, ich beschäftige mich mit einer Aufgabe aus der Stochastik. Ich habe ein Zufallsexperiment Würfeln. Dazu die Grundmenge

G = {1,2,3,4,5,6}

. Nun solle ich alle möglichen Ereignisse angeben, die bei diesem Experiment auftreten können.

Ich habe ein wenig recherchiert und kam auf den Begriff der Potenzmenge. Nun kenne ich die Formel mit

2^{n}

. Ich frage mich aber jetzt wie man darauf kommt.
Kann man diese Formel herleiten bzw. Beweisen. Am besten am Beispiel des Würfels.

Freue mich auf Hilfe und Tipps.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

CKims aktiv_icon

14:11 Uhr, 22.08.2010

alle ereignisse sind:

gar nicht wuerfeln

{\emptyset}

\to 1

moeglichkeit

gar nicht wuerfeln
eine eins wuerfeln

{\emptyset} {1}

links stehen die ereignisse von vorher und rechts packe das neue ereignis hinzu

\to 1 \cdot 2 = 2^{1}

moeglichkeiten

gar nicht wuerfeln
eine eins wuerfeln
eine zwei wuerfeln
eine eins wuerfeln oder eine zwei wuerfeln

{\emptyset} {2}

{1} {1,2}

links stehen die ereignisse von vorher und rechts packe das neue ereignis hinzu

\to 1 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{2}

moeglichkeiten

das kann man jetzt weiter treiben

{\emptyset} {3}

{1} {1,3}

{2} {2,3}

{1,2} {1, 2,3}

links stehen die ereignisse von vorher und rechts packe das neue ereignis hinzu

\to 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}

moeglichkeiten

auf diese weise kann man also alle moeglichen ereignisse darstellen. mit jeden neuem element aus deiner grundmenge steigt dabei die Anzahl moeglicher ereignisse immer um "mal zwei".

lg

dihaz aktiv_icon

14:23 Uhr, 22.08.2010

Wie kommt man aber auf dieses

1 \cdot 2

usw...
also wie kommt diese 2 ins spiel?

vulpi aktiv_icon

20:43 Uhr, 22.08.2010

Hallo, das Folgende ist wohl kein mathematischer Beweis, macht aber den Zusammenhang
meiner Meinung nach gut deutlich.

Du hast eine Menge, die aus 6 Elementen besteht.

G = {1,2,3,4,5,6)

Gefragt ist nun nach den möglichen Teilmengen.

Eine Teilmenge erhälst du, indem du jedes Element abklapperst, und fragst,
ob es mitkommen will, oder nicht. Jedes Element kann ja oder nein sagen.
Die kleinste Teilmenge ist dann der Fall, dass KEIN Element mitkommt, sprich
in der Telmenge vorkommt, diese Teilmenge ist dann leer

T = {}

Der andere Extremfall ist, wenn ALLE Elemente wieder Elemente der Teilmenge sind,
in dem Fall ist der Auszug aus

M

wieder

M

selber.

T = M

Eine spezielle Teilmenge kannst du dir also kodieren, indem du notierst, wer dabai ist, und wer nicht.

In der Binärzahl wie

001101

Steht Ziffer 1 für Elemen1, Ziffer 2 für Element 2 usw.
0 heißt nicht dabei, 1 heißt dabei.
Jede unterschiedliche Binärzahl zeigt also eine andere Elementeauswahl an.

010101

heiß

z . B

T = {2,4,6},

wie gesagt, die 1 zeigt das Vorhandensein des entsprechenden Elements in der Teilmenge an.

Jetzt leuchtet (so hoffe ich) unmittelbar ein, dass es

2^{6}

Teilmengen gibt,
nämlich die Teilmengen mit der Kodierung

000000 - 111111

Es gibt

2^{6}

6-stellige Binärzahlen, so wie es

10^{6}

6-stellige Dezimalzahlen gibt !

Damit ist nebenbei gezeigt, dass die Summe der Binominalkoeffizienten von

(\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix})

bis

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix})

zusammen

2^{6}

ergibt.
(Guck mal die Reihensummen im Pascal'schen Dreieck an)
Denn das ergibt wieder alle Teilmengen,
alle 0-elementige, 1-elementige,...,6-elementige Teilmengen-Kombinationen
als Summe.

Darum also

| P (M) | = 2^{| M |}

mfg

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