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Problem mit Beweis zur Invertierbarkeit

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Beweis, Invertierbarkeit, Matrizenrechnung

 
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HerrElch

HerrElch aktiv_icon

17:16 Uhr, 28.05.2020

Antworten
Hallo zusammen,
ich sitze nun schon seit einigen Tagen immer mal wieder vor einer Aufgabe für die Uni und finde irgendwie keinen richtigen Einstieg. Hier zunächst mal die Aufgabe:

"Seien R ein kommutativer Ring mit Eins und n>=1. Zeigen Sie für AMn(R):
A invertierbar in (Mn(R),*,In)fA invertierbar in (EndR(Rn),,idRn)"

Ich finde leider keinen guten Einstieg in den Beweis. Das liegt vielleicht auch daran, dass ich nicht in Gänze verstehe, was die Aussage meinen soll.
In unserem Skript finde ich aus irgendeinem Grund nicht, was (EndR(Rn) sein soll.
Ansonsten sehen die beiden Formulierungen links und rechts des Äquivalenzsymbols ja recht ähnlich aus. Ich könnte mir also gut vorstellen, dass es es da einen Zusammenhang gibt, aber ich weiß einfach nicht, wie ich sinnvoll einsteigen soll.

Kann mir da jemand behilflich sein?

Vielen Dank und LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

23:07 Uhr, 28.05.2020

Antworten
Du musst zeigen, dass Matrix genau dann invertierbar ist wenn ihre Abbildung invertierbar sind.
Die Definitionen der Invertierbarkeit sind für Matrizen und Abbildung unterschiedlich.
HerrElch

HerrElch aktiv_icon

17:17 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Hallo und erstmal danke für deine Antwort. :-)

Ich verstehe leider trotzdem nicht so ganz, was EndR(Rn) eigentlich sein soll.

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn es eine andere Matrix gibt, die durch Multiplikation mit der ersten Matrix die Einheitsmatrix ergibt.
Eine Funktion ist dann invertierbar, wenn es eine Funktion gibt, die durch Komposition mit der ersten Funktion die Identität ergibt.
Sollte ich dann also zeigen, dass eben diese Funktion, falls sie existiert, auch als Matrix dargestellt werden könnte? Dann müsste hier dann gezeigt werden, dass diese Matrix mit der passenden Matrix der ursprünglichen Funktion die Einheitsmatrix ergibt.

Klingt das so erstmal logisch, oder habe ich da irgendwas falsch verstanden?
Vielen Dank und LG
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:20 Uhr, 29.05.2020

Antworten
"Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn es eine andere Matrix gibt, die durch Multiplikation mit der ersten Matrix die Einheitsmatrix ergibt."

Das wird meistens anders definiert. Bei dieser Definition ist wirklich nicht viel zu zeigen.
End ist der Raum aller linearen Abbildungen.
HerrElch

HerrElch aktiv_icon

19:03 Uhr, 30.05.2020

Antworten
Ich werde daraus leider auch nicht wirklich schlau. Ich sehe mich nochmal etwas länger im Skript um, und hoffe, dass ich vielleicht noch etwas mehr Durchblick bekomme.
Trotzdem schonmal Danke :-)
Antwort
ermanus

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10:47 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,

hier noch ein paar vielleicht nützliche Bemerkungen:

Φ:Mn(R)EndR(Rn),AfA

mit fA(v)=Av ist ein Ringhomomorphismus.

Sind nun e1,,en die Standardeinheitsvektoren von Rn,
dann ist

Ψ:EndR(Rn)Mn(R),fAf:=(f(e1)f(en))

ein Ringhomomorphismus, der gerade die Umkehrabbildung zu Φ ist.

Damit sind die beiden Ringe isomorph.

Gruß ermanus
HerrElch

HerrElch aktiv_icon

18:14 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,
ich habe heute nochmal davor gesessen und mich der Aufgabe gewidmet.
Ich weiß nicht warum, aber aus irgendeinem Grund weiß ich nicht was ich tun soll. Ich hab die Aufgabe hoch und runter gedacht und mir auch deinen Tipp angeguckt.
Trotzdem bin ich irgendwie nicht fähig da vernünftig etwas aufzuschreiben. Es ist sehr merkwürdig und ich bin mittlerweile etwas am Verzweifeln. :(
Mein Abgabezeitlimit rückt immer näher und ich weiß nicht was ich machen soll.

Kann mir jemand von euch irgendwie einen sinnvollen Einstieg in den Beweis geben? Oder vielleicht irgendwie auf andere Art und Weise weiterhelfen? Ich kann leider auch nicht wirklich formulieren, wo mein Problem liegt und warum das Ganze nicht hinhaut. Tut mir wirklich ehrlich leid.

Das wäre wirklich super nett und schon mal vielen Dank für eure Antworten und Tipps.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:17 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Kuck mal den Beweis hier:
math.stackexchange.com/questions/1131875/linear-map-invertible-if-and-only-if-associated-matrix-invertible
Frage beantwortet
HerrElch

HerrElch aktiv_icon

12:33 Uhr, 01.06.2020

Antworten
Ich habe nun eine Lösung gefunden. Danke für eure Hilfe :-)
HerrElch

HerrElch aktiv_icon

12:33 Uhr, 01.06.2020

Antworten
Irgendwie ist das hier doppelt gewesen. Sorry dafür...