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Produkt/Summe konvergente/divergente Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

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13:00 Uhr, 05.03.2012

Es seinen

(a_{n})_{n \in ℕ^{*}}

und

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

Folgen in

ℝ

. Entscheiden Sie für die folgenden vier Aussagen jeweils, ob sie allgemein gültig sind.

Geben Sie jeweils einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an.

(a) Ist

(a_{n})_{n \in ℕ^{*}}

konvergent und

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent, so ist

(a_{n} + b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent.

(b) Ist

(a_{n})_{n \in ℕ^{*}}

konvergent und

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent, so ist

(a_{n} * b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent.

(c) Ist

(a_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent und

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent, so ist

(a_{n} + b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent.

(d) Ist

(a_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent und

(b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent, so ist

(a_{n} * b_{n})_{n \in ℕ^{*}}

divergent.

Leider habe ich keine Idee wie ich da ran gehe. Kann vllt jemand einen Beweis exemplarisch führen oder mir besser noch den Weg weisen? Wie zeige ich, dass eine Folge differgent ist. Wenn sie divergent ist, ist sie nicht konvergent. Das etwas nicht gilt, zeigt man oft mit einem Widerspruch.

Zur (a) Formuliere ich mal meine Gedanken:

Wir wissen dass

(a_{n})

konvergent ist. Sei

ε > 0

, dann existiert ein

n_{1} \in ℕ

mit

∣ a_{n} - a ∣ < ε

\forall n \geq n_{1}

Für die Summe gilt nach Grenzwertsatz:

(a_{n} + b_{n}) = a + b

mit a:= Grentwert von

a_{n}

und b:= Grenzwert von

b_{n}

Es gilt also:

∣ a_{n} + b_{n} - (a + b) ∣ < 2 ε

(*)

Ziehen wir nun die Folge

a_{n}

wieder ab, so erhalten wir:

∣ a_{n} + b_{n} - (a + b) - a_{n} + a ∣ < 2 ε

und das entspricht:

∣ b_{n} - b ∣ < ε

Dies würde aber bedeuten, dass die Folge

(b_{n})

konvergent ist und stellt einen Widerspruch zur Vorraussetzung dar. Damit ist die Aussage nicht allgemein gültig.

Im Nachhinein betrachtet, sieht das garnicht so verkehrt aus. Allerdings bin ich mit nicht sicher, ob ich die ersten Ungleichung (*) so schreiben darf, wegen dem

2 ε

, welches für

(b_{n})

noch nicht definiert wurde.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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barracuda317 aktiv_icon

13:27 Uhr, 05.03.2012

Für die (a) habe ich mal einen Versuch hinzueditiert.

Bummerang

13:27 Uhr, 05.03.2012

Hallo,

(a)

indirekter Beweis: Angenommen, a ist konvergent und

a + b

ist konvergent, dann kann man daraus schließen, dass

b

nicht divergent sein kann.

(b)

Gegenbeispiel

a = \frac{1}{n^{2}}

und

b = n

(c)

Gegenbeispiel

a = n

und

b = - n

(d)

Gegenbeispiel

a = \frac{1}{n} + {(- 1)}^{n}

und

b = \frac{1}{n} + {(- 1)}^{n + 1}

EDIT Wegen Deinem Paralleledit:
Bei

(a)

ist

b_{n}

divergent, also gibt es

b

gar nicht so, wie Du es definiert hast und Du kannst es demzufolge nicht benutzen! Du könntest höchstens von einem Grenzwert

g

der Summenfolge ausgehen und könntest

b

als

g - a

definieren, so dass der Grenzwert der Summe sich as

a + b

ergäbe! Auch halte ich Deine Umformung, bei der im Betrag dann plötzlich

- a_{n} + a

dazukommen für abenteuerlich und nicht allgemeingültig, jedenfalls nicht bei vorgegebenen "knappen"

ε

. Als Erklärung meiner Bauchschmerzen an dieser stelle muß Dir genügen, dass es die Dreiecksungleichung gibt, die eben keine Gleichung ist!

barracuda317 aktiv_icon

13:32 Uhr, 05.03.2012

Aber wie notiere ich das dann mathematisch?

(a_n + b_n)

ist doch so definiert.

Bummerang

13:38 Uhr, 05.03.2012

Hallo,

mir ist nicht klar, was Du mit Deiner Frage wissen willst! Natürlich ist die Folge so (als Summe) erklärt und sie hat einen Grenzwert, den man als

a + b

bezeichnen könnte, wenn man a als Grenzwert von

a_{n}

definiert und

b

als den Rest. Aber man kann

b

nicht als Grenzwert von

b_{n}

definieren, so wie Du es gemacht hast, denn dieser Grenzwert existiert nicht!!! Aber all das hatte ich ja schon geschrieben...

barracuda317 aktiv_icon

13:52 Uhr, 05.03.2012

Ich verstehe, der Fehler liegt als bei der Definition von b als Grenzwert einer divergenten Folge, welcher nicht existiert.

Es gilt also:

(a_{n} + b_{n}) = a + g

wobei

a := Grenzwert von a_{n}

ist.

Daraus folgt

∣ a_{n} + b_{n} - (a + g) ∣ = ∣ a_{n} - a + b_{n} - g ∣ \leq ∣ a_{n} - a ∣ + ∣ b_{n} - g ∣ < ε + (ε ?)

Ist das besser? Folgt daraus, dass

(b_{n})

konvergent und

g

der Grenzwert ist?

Bummerang

14:29 Uhr, 05.03.2012

Hallo,

man könnte in etwa so herangehen:

a := lim_{n \to + \infty} (a_{n})

g := lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n})

b := g - a \Rightarrow a + b = lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n})

Daraus folgt

\forall ε > 0 \exists n_{g (ε)} \in ℕ

so dass für alle

n > n_{g (ε)}

gilt:

| a_{n} + b_{n} - (a + b) | < ε

UND

\forall ε > 0 \exists n_{a} (ε) \in ℕ

so dass für alle

n > n_{a} (ε)

gilt:

| a_{n} - a | < ε

Sei nun für alle

ε

definiert

n_{0} (ε) := max (n_{g (\frac{ε}{2})}; n_{a} (\frac{ε}{2})),

dann gilt für alle

ε :

\forall n > n_{0} (ε)

gilt:

| a_{n} + b_{n} - (a + b) | < \frac{ε}{2}

UND

\forall n > n_{0} (ε)

gilt:

| a_{n} - a | < \frac{ε}{2}

Dann folgt daraus:

\frac{ε}{2} > | a_{n} + b_{n} - (a + b) |

\frac{ε}{2} > | a_{n} + b_{n} - a - b |

\frac{ε}{2} > | a_{n} - a + b_{n} - b |

\frac{ε}{2} > | (a_{n} - a) + (b_{n} - b) |

\frac{ε}{2} > | (a_{n} - a) + (b_{n} - b) | \geq | | (a_{n} - a) | - | (b_{n} - b) | |

- \frac{ε}{2} < | (a_{n} - a) | - | (b_{n} - b) | < \frac{ε}{2};

insbesondere gilt die Ungleichung

- \frac{ε}{2} < | (a_{n} - a) | - | (b_{n} - b) |

- \frac{ε}{2} - | (a_{n} - a) | < - | (b_{n} - b) |

\frac{ε}{2} + | (a_{n} - a) | > | (b_{n} - b) |;

und wegen

\frac{ε}{2} > | (a_{n} - a) |

\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} > \frac{ε}{2} + | (a_{n} - a) | > | (b_{n} - b) |

ε > | (b_{n} - b) |

Das gilt für beliebiges positives

ε

und alle

n > n_{0} (ε)!

Damit wäre

b_{n}

konvergent mit Grenzwert

b

und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass

b_{n}

divergent ist.

barracuda317 aktiv_icon

14:41 Uhr, 05.03.2012

Ohje, das ist ja ein ganz schönes Monster geworden.

Leider fehlt mir noch etwas das Gespür, warum meine Lösung nun falsch war. Ich werde jedoch die Lösungen nochmal vergleichen. Dennoch schonmal vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast :-)

das b ist doch eigentlich das g in meiner Lösung. Es hängt also noch am

ε

hagman aktiv_icon

20:08 Uhr, 05.03.2012

Vielleicht habt ihr aber ja auch schon gezeigt: Die Summe und Differenz konvergenter Folgen ist konvergent.
Mit diesem Ergebnis ist die erste Aufgabe nämlich rasch so erschlagen:
Setze

c_{n} = a_{n} + b_{n}

. Nach Voraussetzung ist

(a_{n})

konvergent. Angenommen, es wäre auch

(c_{n})

konvergent, so wäre auch die Differenz

(c_{n} - a_{n}) = (b_{n})

konvergent - Widerspruch!

Bei den anderen Teilaufgaben hilft natürlich statt eines Beweises ein einfaches Gegenbeispiel

. .

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