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Produkt/Summe konvergente/divergente Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

 
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barracuda317

barracuda317 aktiv_icon

13:00 Uhr, 05.03.2012

Antworten
Es seinen und Folgen in . Entscheiden Sie für die folgenden vier Aussagen jeweils, ob sie allgemein gültig sind.

Geben Sie jeweils einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel an.

(a) Ist konvergent und divergent, so ist divergent.

(b) Ist konvergent und divergent, so ist divergent.

(c) Ist divergent und divergent, so ist divergent.

(d) Ist divergent und divergent, so ist divergent.

Leider habe ich keine Idee wie ich da ran gehe. Kann vllt jemand einen Beweis exemplarisch führen oder mir besser noch den Weg weisen? Wie zeige ich, dass eine Folge differgent ist. Wenn sie divergent ist, ist sie nicht konvergent. Das etwas nicht gilt, zeigt man oft mit einem Widerspruch.

Zur (a) Formuliere ich mal meine Gedanken:

Wir wissen dass konvergent ist. Sei , dann existiert ein mit



Für die Summe gilt nach Grenzwertsatz:

mit a:= Grentwert von und b:= Grenzwert von

Es gilt also:

(*)

Ziehen wir nun die Folge wieder ab, so erhalten wir:



und das entspricht:



Dies würde aber bedeuten, dass die Folge konvergent ist und stellt einen Widerspruch zur Vorraussetzung dar. Damit ist die Aussage nicht allgemein gültig.

Im Nachhinein betrachtet, sieht das garnicht so verkehrt aus. Allerdings bin ich mit nicht sicher, ob ich die ersten Ungleichung (*) so schreiben darf, wegen dem , welches für noch nicht definiert wurde.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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barracuda317

barracuda317 aktiv_icon

13:27 Uhr, 05.03.2012

Antworten
Für die (a) habe ich mal einen Versuch hinzueditiert.
Antwort
Bummerang

Bummerang

13:27 Uhr, 05.03.2012

Antworten
Hallo,

indirekter Beweis: Angenommen, a ist konvergent und ist konvergent, dann kann man daraus schließen, dass nicht divergent sein kann.

Gegenbeispiel und

Gegenbeispiel und

Gegenbeispiel und

EDIT Wegen Deinem Paralleledit:
Bei ist divergent, also gibt es gar nicht so, wie Du es definiert hast und Du kannst es demzufolge nicht benutzen! Du könntest höchstens von einem Grenzwert der Summenfolge ausgehen und könntest als definieren, so dass der Grenzwert der Summe sich as ergäbe! Auch halte ich Deine Umformung, bei der im Betrag dann plötzlich dazukommen für abenteuerlich und nicht allgemeingültig, jedenfalls nicht bei vorgegebenen "knappen" . Als Erklärung meiner Bauchschmerzen an dieser stelle muß Dir genügen, dass es die Dreiecksungleichung gibt, die eben keine Gleichung ist!
barracuda317

barracuda317 aktiv_icon

13:32 Uhr, 05.03.2012

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Aber wie notiere ich das dann mathematisch? ist doch so definiert.
Antwort
Bummerang

Bummerang

13:38 Uhr, 05.03.2012

Antworten
Hallo,

mir ist nicht klar, was Du mit Deiner Frage wissen willst! Natürlich ist die Folge so (als Summe) erklärt und sie hat einen Grenzwert, den man als bezeichnen könnte, wenn man a als Grenzwert von definiert und als den Rest. Aber man kann nicht als Grenzwert von definieren, so wie Du es gemacht hast, denn dieser Grenzwert existiert nicht!!! Aber all das hatte ich ja schon geschrieben...
barracuda317

barracuda317 aktiv_icon

13:52 Uhr, 05.03.2012

Antworten
Ich verstehe, der Fehler liegt als bei der Definition von b als Grenzwert einer divergenten Folge, welcher nicht existiert.

Es gilt also:

wobei ist.

Daraus folgt



Ist das besser? Folgt daraus, dass konvergent und der Grenzwert ist?
Antwort
Bummerang

Bummerang

14:29 Uhr, 05.03.2012

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Hallo,

man könnte in etwa so herangehen:







Daraus folgt

so dass für alle gilt:

UND

so dass für alle gilt:

Sei nun für alle definiert dann gilt für alle

gilt: UND gilt:

Dann folgt daraus:











insbesondere gilt die Ungleichung



und wegen





Das gilt für beliebiges positives und alle

Damit wäre konvergent mit Grenzwert und das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass divergent ist.
barracuda317

barracuda317 aktiv_icon

14:41 Uhr, 05.03.2012

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Ohje, das ist ja ein ganz schönes Monster geworden.

Leider fehlt mir noch etwas das Gespür, warum meine Lösung nun falsch war. Ich werde jedoch die Lösungen nochmal vergleichen. Dennoch schonmal vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast :-)

das b ist doch eigentlich das g in meiner Lösung. Es hängt also noch am .


Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

20:08 Uhr, 05.03.2012

Antworten
Vielleicht habt ihr aber ja auch schon gezeigt: Die Summe und Differenz konvergenter Folgen ist konvergent.
Mit diesem Ergebnis ist die erste Aufgabe nämlich rasch so erschlagen:
Setze . Nach Voraussetzung ist konvergent. Angenommen, es wäre auch konvergent, so wäre auch die Differenz konvergent - Widerspruch!

Bei den anderen Teilaufgaben hilft natürlich statt eines Beweises ein einfaches Gegenbeispiel .
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