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Projektionsabbildung ist isomorph (beweis)?
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Tags: Eigenwert, Funktionalanalysis, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Grenzwert, Isomorphie, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, projektionabbildung
 
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hi, leute ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt... ich bearbeite seit einer Weile folgende Aufgabe: Seien und nichtleere Mengen, und seien pr1 × → beziehungsweise pr2 × → die Projektionsabbildungen. Beweisen Sie: Eine Teilmenge ⊆ × ist genau dann der Graph einer Abbildung → wenn pr1|G ein Isomorphismus ist. Ich weiß überhaupt nicht, wie man sowas beweisen soll... Den begriff "isomorphismus" haben wir in der Vorlesung noch nicht behandelt, deswegen wundert mich die Aufgabenstellung ein wenig. Laut Google ist ein Isomorphismus eine bijektive lineare Abbildung. Dabei weiß ich nicht, ob die Projektionsabbildungen selber linearte Abbildungen sind. Ich denke aber eher nicht,,, Kann mir da jemand helfen ??? Ich bin echt verwirrt.... Ich bedanke mich für jede Hilfe. Tim mfg  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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"Dabei weiß ich nicht, ob die Projektionsabbildungen selber linearte Abbildungen sind." Da Du hier mit einfachen Mengen zu tun hast, ohne irgendeine lineare Struktur, kann man auch nicht von linearen Abbildungen sprechen. Und der Isomorphismus bedeutet in diesem Kontext einfach eine bijektive Abbildung. Der Beweis. 1. Richtung. Sei ein Isomorphismus. Sei beliebig aus . Wenn es ein mit in existiert hätte, dann hätten wir und wäre nicht injektiv. Das ist unmöglich, also gibt's so ein nicht. Damit ist die Abbildung: <=> eindeutig und damit ist der Graph von . 2. Richtung. Sei der Graph von einer Funktion . Wenn jetzt , so ist per Definition von und , , weil der Graph von ist. Da , folgt und damit injektiv. Und surjektiv ist sie, weil für jedes . Damit ist sie bijektiv. |
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