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Prüfen ob die Folgen konvergieren

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: divergenz, Folgen, Grenzwert, Konvergenz, reih

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13:32 Uhr, 26.11.2016

Hallo,
folgende Aufgabe:
Prüfen sie ob die Folgen konvergieren oder (bestimmt) divergieren. Bestimmen sie gegebenfalls die Grenzwerte.

(i) \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n + 14}

n€N

(i i) \frac{{(- 1)}^{n} \cdot n^{3} - 7 n^{2} + n - 15}{n^{3} + 19 n}

zu der

(i)

hab ich folgenden Ansatz:
Also erstmal habe ich den Grenzwert bestimmt und gesagt, dass es konvergiert (wegen dem Grenzwert).

also:

\frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n + 14}

(jetzt habe ich

\frac{1}{n^{2}}

hinzugefügt.

\Rightarrow \frac{\frac{1}{n^{2}} (- 3 n^{2} + 8 n - 7)}{\frac{1}{n^{2}} (2 n^{2} - 3 n + 14)}

\Rightarrow \frac{- 3 + \frac{8}{n} - \frac{8}{n^{2}}}{2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}}}

da nun oberer und unterer Term konvergieren, kann ich die einzelnen Grenzwerte berechnen.

\Rightarrow \frac{lim n \to u (- 3 + \frac{8}{n} - \frac{8}{n^{2}})}{lim n \to u (2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}})}

das

u

steht hier für unendlich (habe das Zeichen nicht gefunden.

\Rightarrow - \frac{3}{2} = - 1,5

. Also ist der Grenzwert

- 1,5

Jetzt wollte ich mit dem Epsilon Beweis weitermachen. Aber ich finde es sehr schwer die Formel dann aufzulösen. Könnte mir dabei vielleicht jemand helfen?
Also bislang habe ich dann noch:

| a - g | < E

.hier ist a die Folge und

g

die Grenze und

E

das Epsilon

also:

| \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n + 14} - (- 1,5) | = | \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n + 14} + 1,5 | < E

\Rightarrow \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n + 14} + 1,5 < E

\Rightarrow \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{E} < - 1,5 \cdot (2 n^{2} - 3 n + 14)

Weiter würde ich jetzt nicht kommen, und

v . a

. nicht so, dass ich ein einziges

n

auf einer Seite alleine stehen habe. Fände es super, wenn mir dabei jemand hilft.

und zu

(i i)

weiß ich bislang nur, dass es unbestimmt divergiert..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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ledum aktiv_icon

20:15 Uhr, 26.11.2016

Hallo
erstens Ausdrucksweise

\frac{1}{n^{2}}

hinzugefügt besser

Z

und

N

durch

n^{2}

geteilt.
2.
|(−3n^2+8n−7)/(2n^2−3n+14+1,5)|<E den Bruch durch

2 n^{2} Z

und

N

teilen, dann Hauptnenner
bleibt

| \frac{\frac{12,5}{n} + \frac{14}{n^{2}}}{2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}}} |

Zähler vergrößern wegen

\frac{14}{n^{2}} < \frac{14}{n} \Rightarrow Z < \frac{26,5}{n}

Nenner verkleinern

\frac{14}{n^{2}}

weglassen und

\frac{3}{n}

für

n > 6

auf

\frac{1}{2}

vergrößern

| \frac{\frac{12,5}{n} + \frac{14}{n^{2}}}{2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}}} | < \frac{26,5}{n} < ε

so ähnlich geht man immer vor Zähler vergrößern, Nenner verkleinern, so dass einfache Ausdrücke entstehen.
Gruß ledum

BigTi aktiv_icon

20:58 Uhr, 26.11.2016

hallo, wenn man, wie du sagtest:

| \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n + 14} |

durch

2 n^{2}

teilt,
dann habe ich da etwas komplett anderes als du raus. Bei mir würde dann:

| \frac{- 1,5 + \frac{4}{n} - \frac{3,5}{n^{2}}}{1 - \frac{1,5}{n} + \frac{7}{n^{2}}} |

rauskommen.

Du hattest da ja irgendwie

| \frac{\frac{12,5}{n} + \frac{14}{n^{2}}}{2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}}} |

rausbekommen.

ledum aktiv_icon

14:50 Uhr, 27.11.2016

Hallo
du willst doch den Bruch oben

+ 1,5

also erst auf einen Nenner bringen, dann abschätzen. für meine Rechnungen garantier ich nicht, aber die Methode des abschätzen klappt immer.
Gruß ledum

BigTi aktiv_icon

15:03 Uhr, 27.11.2016

Könntest du mir vielleicht ein wenig kleinschrittiger aufschreiben, wie du von dem:

| \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 7}{2 n^{2} - 3 n^{2} + 14} |

auf das kommst:

| \frac{\frac{12,5}{n} + \frac{14}{n^{2}}}{2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}}} |

?

Also das mit dem

: n^{2}

habe ich noch verstanden, aber wie du dann auf einmal plötzlich auf

| \frac{\frac{12,5}{n} + \frac{14}{n^{2}}}{2 - \frac{3}{n} + \frac{14}{n^{2}}} |

kommst, ist mir ein Rätsel. Wäre echt lieb, wenn du mir das vielleicht noch einmal sehr kleinschrittig aufschreibst.
Danke schonmal! :-)

ledum aktiv_icon

15:48 Uhr, 27.11.2016

Hallo
(−

1,5 + \frac{4}{n}

−

\frac{3,5}{n^{2}}) / (1

−

\frac{1,5}{n} + \frac{7}{n^{2}}) + 1,5 =

danach habe ich mich verrechnet, also rechne das selbst ich hab grad keine Lust dazu: , auf den Hauptnenner bringen, Zähler geschickt vergrößern, Nenner verkleinern
Gruß ledum

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