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Rand, Abgeschlossene Hülle und Inneres einer Menge

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Abgeschlossene Hülle, Beweis, Inneres, Menge, Rand

 
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jonnel

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18:11 Uhr, 02.05.2017

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Hallo,

ich habe mal wieder Probleme mit Beweisen.

Gegeben ist eine Menge M=[0,1)∪{2}. Es soll nun gezeigt werden, dass M°=(0,1), M¯=[0,1]∪2 und δM={0,1,2}. Dabei rechnen wir auf ℝ mit der euklidischen Metrik. Die Abstandsfunktion d ist also definiert durch d=∑i=1n(xi-yi)2=(x-y)2= ∣x-y∣.

Grundsätzlich verstehe ich jede Teilaufgabe; Das Innere von M, M°, besteht aus allen Zahlen zwischen 0 und 1, weil 0, 1 und 2 Randpunkte sind und damit nicht zum Inneren gehören. Mathematisch ausgedrückt:

M°={x∈M:∃ε>0:Bε(x)⊆M}, wobei Bε(x)={y∈M:d(x,y)<ε}={y∈M: ∣x-y∣ <ε}

δM={x∈M:∀ε>0 ∃a,b∈Bε(x):a∈M,b∈Z\M}, wobei ich mit Z hier den Metrischen Raum bezeichne.

Die Abgeschlossene Hülle ist ja nichts anderes als M¯=M°∪δM.

Diese Definitionen sind mir alle klar, ich weiß aber einfach nicht, wie ich mathematisch beweisen soll, dass die oben aufgeschriebenen Behauptungen wahr sind.

Vielleicht kann mir hier jemand helfen.

Danke schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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tobit

tobit aktiv_icon

07:54 Uhr, 03.05.2017

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Hallo jonnel!


Vorweg zwei Kleinigkeiten:

Bei der Definition von δM muss es x∈Z statt x∈M lauten.
(In unserem Fall Z=ℝ.)

In unserem Fall Z=ℝ mit der euklidischen Metrik ist Bɛ(x)=(x-ɛ,x+ɛ) für alle ɛ>0 und alle x∈ℝ.


Nachzuweisen sind Gleichheiten von Mengen.
Eine solche Gleichheit wie M∘=(0,1) weist man typischerweise dadurch nach, dass man nacheinander die beiden Inklusionen M∘⊆(0,1) (kurz: "⊆") und M∘⊇(0,1) (kurz: "⊇") nachweist.


Zunächst zu "⊇":

Zu zeigen ist, dass für alle x∈(0,1) auch x∈M∘ gilt.

Sei also x∈(0,1) beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist x∈M∘, d.h. zu zeigen ist, dass ein ɛ>0 existiert mit Bɛ⊆M.

Versuche also, ein solches (natürlich von x abhängiges) hinreichend kleines ɛ>0 zu finden.
(Tipp: Damit Bɛ(x)=(x-ɛ,x+ɛ) z.B. keine Zahlen ≥1 enthält, sollte x+ɛ≤1 sein. Also sollten wir auf alle Fälle ein ɛ≤1-x wählen.)


Nun zu "⊆":

Sei x∈M∘.
Zu zeigen ist x∈(0,1).

Wegen x∈M∘ ist insbesondere x∈M und daher x=0 oder x∈(0,1) oder x=2.
Im Falle x∈(0,1) ist nichts weiter zu zeigen.
Bleiben noch die Fälle x=0 und x=2 zu behandeln (und jeweils zu zeigen, dass sie wegen x∈M∘ gar nicht möglich sind).

Betrachten wir etwa den Fall x=0:
Wegen 0=x∈M∘ existiert dann ein ɛ>0 mit Bɛ(0)⊆M.

(Dass Bɛ(0)⊆M nicht wirklich sein kann, sollte anschaulich klar sein: Bɛ(0) "ragt nach rechts und links über 0 hinaus" und enthält daher im Gegensatz zu M auch Zahlen <0. Formal argumentiert gebe ich nun eine solche Zahl <0 konkret an: )

Wegen -ɛ2∈Bɛ(0) (Warum?) ist dann insbesondere -ɛ2∈M.
Wegen -ɛ2<0 widerspricht dies der Eigenschaft von M, nur Zahlen ≥0 zu enthalten.
Also war der Fall x=0 gar nicht möglich.


Wie weit kommst du mit diesen Ansätzen?
Ist nun auch klar, wie der Beweis z.B. von M¯=[0,1]∪{2} begonnen werden kann?


Viele Grüße
Tobias
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