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Random Walk

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Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Folgen und Reihen, Grenzwert, Integration, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

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16:05 Uhr, 10.04.2019

Schönen Tag,

Und zwar stehe ich vor einem kleinem Problem. Ich habe den Random-Walk

(1 D)

berechnet. Hierbei wurde als Startposition

x_{0}

und die Schrittweite 1 gewählt. Für einen Schritt gilt dann die Wahrscheinlichkeitsdichte:

w (x) = \frac{1}{2} δ (x_{0} - 1 - x) + \frac{1}{2} δ (x_{0} + 1 - x)

Damit ist der Erwartungswert:

〈 X 〉 = \int_{ℝ} x w (x) d x = \frac{1}{2} (x_{0} - 1) + \frac{1}{2} (x_{0} + 1) = x_{0}

Das zweite Moment ist:

〈 X^{2} 〉 = \int_{ℝ} x^{2} w (x) d x = \frac{1}{2} {(x_{0} - 1)}^{2} + \frac{1}{2} {(x_{0} + 1)}^{2} = x_{0}^{2} + 1

Betrachte ich nun den Random-Walk mit N-Schritten, entstehen ja neue Funktionen

F

und

f

mit

F (X) = \sum X_{k}, f (x) = \sum x_{k}

Wie man bei Wikipedia (Random Walk) nachlesen kann, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person eine bestimmte Position

f_{k}

erreicht, binomialverteilt. Genauer:

P (k) = (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} q^{n - k}, f_{k} = x_{0} + N - 2 k, k \in {0, ..., N}

Hierbei ist

p

die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach vorne und

q

die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach hinten. Diese sollen gleich sein, also

\frac{1}{2}

. Daher lautet

P (k)

nun:

P (k) = (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) \cdot \frac{1}{2^{N}}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte lautet dann:

w_{F} (f) = \sum_{k = 0}^{N} P (k) \cdot δ (f_{k} - f)

Der Erwartungswert ist dann:

〈 F 〉 = \int_{ℝ} f w_{F} (f) d f = \sum_{k = 0}^{N} P (k) \cdot f_{k} = \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{2^{N}} (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) \cdot (x_{0} + N - 2 k) = x_{0}

.

Ausgenutzt wurde:

\sum_{k = 0}^{N} (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) = 2^{N}

\sum_{k = 0}^{N} (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) k = 2^{N - 1} \cdot N

Das zweite Moment ist:

〈 F^{2} 〉 = \int_{ℝ} f^{2} w_{F} (f) d f = \sum_{k = 0}^{N} P (k) \cdot f_{k}^{2} = \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{2^{N}} (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) \cdot {(x_{0} + N - 2 k)}^{2} = x_{0}^{2} + N

.

Ausgenutzt wurde:

\sum_{k = 0}^{N} (\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) k^{2} = 2^{N - 2} \cdot N (N + 1)

So, aber jetzt kommt das, was mich verwirrt, und zwar steht in der Lösung:

〈 F 〉 = \sum 〈 X_{k} 〉 = \sum 〈 X 〉 = N 〈 X 〉 = N x_{0}

〈 F^{2} 〉 = 〈 {(\sum X_{k})}^{2} 〉 = \sum_{k = 0}^{N} 〈 X_{k}^{2} 〉 + \sum_{k \neq l}^{N} 〈 X_{k} X_{l} 〉 = N 〈 X^{2} 〉 = N (x_{0}^{2} + 1)

Aus irgend einem Grund fehlt bei mir der Faktor

N

x_{0}

bzw

x_{0}^{2}

. Ich bin mehrmals schon die Rechnung durchgegangen und habe keine Fehler gefunden. Ich vermute daher, dass vielleicht etwas an meiner Grundprämisse falsch ist. Zur besseren Veranschaulichung habe ich mal ein Bild aufgemalt. Vielleicht hilft es das Problem und meinen Ansatz nachzuvollziehen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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HAL9000

16:40 Uhr, 10.04.2019

Irgendwie hast du da einen Denkfehler:

Dein

F

ist definiert als die SUMME aller Werte

X_{1}, \dots, X_{N}

, während deine Positionen

f_{k}

und assoziert Wahrscheinlichkeiten

P (k)

lediglich den letzten erreichten Zustand

X_{N}

beschreiben. Tatsächlich berechnest du also

〈 X_{N} 〉 = x_{0}

sowie

〈 X_{N}^{2} 〉 = x_{0}^{2} + N

in deiner ersten Rechnung!!!

Dabei gehe ich davon aus, dass

X_{k}

die Position nach

k

Schritten ist. Falls es aber nur der Zuwachs im

k

-ten Schritt ist, dann ist die letzte Rechnung falsch, denn dieser Ein-Schritt-Zuwachs hat die Charakteristiken

〈 X_{k} 〉 = 0

(für

p = \frac{1}{2}

und

〈 X_{k}^{2} 〉 = 1

(immer).

Bayro aktiv_icon

16:57 Uhr, 10.04.2019

Ich habe mal gesucht. Die Größe

F

taucht im Zentralen Grenzwertsatz ( de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz auf, sie wird dort als

S_{n}

bezeichnet.

Im Vorlesungsskript steht auch etwas über den Random Walk: Ein anderes Beispiel ist der Random Walk, wo

X_{k}

der Wegzuwachs beim k-ten Schritt wäre und

F

die zurückgelegte Gesamtdistanz.

Also soll ja

F

den Endzustand beschreiben. Die Variable

X_{N}

ist nur der N-te Zuwachs beim N-ten Schritt.

HAL9000

17:16 Uhr, 10.04.2019

Ok, d.h.

X_{k}

ist der Zuwachs im

k

-ten Schritt, mit

P (X_{k} = 1) = p

und

P (X_{k} = - 1) = 1 - p

und deshalb

〈 X_{k} 〉 = 2 p - 1

sowie

〈 X_{k}^{2} 〉 = 1

. Wir betrachten nur

p = \frac{1}{2}

, da ist

〈 X_{k} 〉 = 0

.

Das vorgenannte gilt aber nur für

k \geq 1

, denn Start

X_{0}

ist aber anders verteilt, nämlich deterministisch

X_{0} = x_{0}

, wenn man so will einpunktverteilt

P (X_{0} = x_{0}) = 1

.

Damit gilt für

F = \sum_{k = 0}^{N} X_{k}

〈 F 〉 = 〈 X_{0} 〉 + \sum_{k = 1}^{N} 〈 X_{k} 〉 = x_{0}

〈 F^{2} 〉 = x_{0}^{2} + 2 x_{0} (\sum_{k = 1}^{N} 〈 X_{k} 〉) + \sum_{k = 1}^{N} 〈 X_{k}^{2} 〉 = x_{0}^{2} + N

In letzterer Gleichung habe ich die gemischten Terme

〈 X_{k} X_{l} 〉 = 0

für

k \neq l

gleich weggelassen.

Bayro aktiv_icon

17:19 Uhr, 10.04.2019

Ich glaube fast, dass die Lösung vom Übungsleiter falsch ist.

Aber auch im Skript steht, dass aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes die Zufallsvariable

F

für

N \to \infty

gaußverteilt ist, auch beim Random Walk. Dies muss ja so sein, da die Binomialverteilung bei

N \to \infty

gegen die Normalverteilung konvergiert. Und als Folgerung steht dort:

Mit der Gauß-Verteilung folgt für den Erwartungswert

〈 F 〉 = N 〈 X 〉

HAL9000

17:26 Uhr, 10.04.2019

> Ich glaube fast, dass die Lösung vom Übungsleiter falsch ist.

Das denke ich auch, siehe mein letzter Beitrag. Wenn auch auf etwas anderem Wege, so kann ich doch deine Endergebnisse bestätigen.

Bayro aktiv_icon

17:52 Uhr, 10.04.2019

Dann ist dies aber immer noch ein Widerspruch zum Skirpt. Damit die Aussage