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Rechenregeln Beweis mit Körperaxiomen aus R

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Körper, Reelle Zahlen

SilverShadow aktiv_icon

21:14 Uhr, 30.04.2012

Hallo!
Habe gerade folgende Aufgaben zu beweisen:
Seien

k, l \in Z & m, n \in N &

definiere

\frac{k}{m} := m^{- 1} \cdot k

Geben sie zu jedem Schritt die verwendete Eigenschaft des Körpers

R

(oder die in der VL bewiesene Rechenregel) an.

a) {(m \cdot n)}^{- 1} = m^{- 1} \cdot n^{- 1}

Mein Versuch:

{(m \cdot n)}^{- 1}

ist per Definition inverses Element zu

(m \cdot n)

\to (m^{- 1} \cdot n^{- 1}) \cdot (m \cdot n) =

[

Assoziativgesetz & Kommutativität]

(m^{- 1} \cdot m) \cdot (n^{- 1}

*n)=

[

Existenz eines inversen Elements)1

q . e . d

b) \frac{k}{m} \cdot \frac{l}{n} = \frac{k \cdot l}{m \cdot n}

\frac{k}{m} \cdot \frac{l}{n}

[

Angabendefinition]

(m^{- 1} \cdot k) \cdot (n^{- 1} \cdot

l)=

[

Assoziativität+Kommutativität)

(m^{- 1} \cdot n^{- 1}) \cdot (k \cdot

l)=

[

siehe

a)] {(m \cdot n)}^{- 1} \cdot (k \cdot

l)=

[

Angabendefinition]

\frac{k \cdot l}{m \cdot n}

q . e . d

c) \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m \cdot n}{m + n}

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =

[

wie nennt man die Eigenschaft?]

m^{- 1} + n^{- 1} =

[

Existenz eines inversen Elements]

(m^{- 1} + n^{- 1}) \cdot m \cdot m^{- 1} \cdot n \cdot n^{- 1} =

[

Asoziativgesetz]

(m^{- 1} \cdot n^{- 1} \cdot m^{- 1} + n^{- 1} \cdot n^{- 1} \cdot m^{- 1}) \cdot m \cdot n

Hier komme ich nicht mehr weiter; was ist denn

m^{- 1} \cdot m^{- 1}

?

Und sind meine anderen Versuche richtig?
Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Paulus

09:19 Uhr, 01.05.2012

Hallo sh

Die Beweise

a)

und

b)

scheinen in Ordnung zu sein. Nur würde ich nicht mehrere Regeln in einem einzigen Schritt angeben, sondern schööööön laaaaangsam Schritt für Schritt,

d . h

. Regel für Regel, Axiom für Axiom, durchgehen.

Bei

c)

denke ich, dass du schlichtweg die Behauptung falsch abgeschrieben hast. Es sollte wohl kaum heissen:

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m \cdot n}{m + n},

sondern wohl eher

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{m \cdot n}

Und dann gehts ganz leicht.

Gruss

Paul

SilverShadow aktiv_icon

11:42 Uhr, 01.05.2012

Vielen Dank schonmal für die Antwort :-)

Nö, das steht

1 : 1

so da:

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m \cdot n}{m + n}

Haben die sich dann schlicht verschrieben?

Paulus

12:01 Uhr, 01.05.2012

Hallo ss

ja, dann haben DIE sich verschrieben.

Du brauchst das ja nur mal nach den gelernten Grundschul-Regeln zu machen - oder hast du die schon vergessen, vor lauter Axiomen von

ℝ

- :

Geleichnamig machen und auf einen Bruch:

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n}{m n} + \frac{m}{m n} = \frac{n + m}{m n}

Gruss

Paul

SilverShadow aktiv_icon

16:07 Uhr, 01.05.2012

Naja, nach dem ganzen Zeug was man so hört hast du vielleicht bald Recht ;-)

Frage:
Wie würde ich es denn jetzt für den Fall machen?

\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =

[

wie heißt die Umformung?)

m^{- 1} + n^{- 1}

Multiplizieren mit

(m \cdot m^{- 1} \cdot n \cdot n^{- 1})

bringt mir irgendwie nichts.

hagman aktiv_icon

11:23 Uhr, 02.05.2012

Vielleicht rechts anfangen (hier in lediglich teils parallelisierten Einzelschritten ohne Bennennung des Gesetzes - die darfst du noch selbst herausfinden)

\frac{n + m}{n \cdot m}

= {(n \cdot m)}^{- 1} \cdot (n + m)

= (n^{- 1} \cdot m^{- 1}) \cdot (n + m)

= (n^{- 1} \cdot m^{- 1}) \cdot n + (n^{- 1} \cdot m^{- 1}) \cdot m

= (m^{- 1} \cdot n^{- 1}) \cdot n + (n^{- 1} \cdot m^{- 1}) \cdot m

= m^{- 1} \cdot (n^{- 1} \cdot n) + n^{- 1} \cdot (m^{- 1} \cdot m)

= m^{- 1} \cdot 1 + n^{- 1} \cdot 1

= \frac{1}{m} + \frac{1}{n}

Bemerkenswerte wird hier noch nicht einmal die "Wie heisst diese Umformung" benötigt.
Diese ergäbe sich übrigens aus der Eigenschaft des neutralen Elements:

x^{- 1} = x^{- 1} \cdot 1 = \frac{1}{x}

SilverShadow aktiv_icon

13:22 Uhr, 02.05.2012

Bin heute in der VL auch draufgekommen:
Habs über die andere Seite gemacht. Habe

m^{- 1} + n^{- 1}

mit

m \cdot m^{- 1} \cdot n \cdot n^{- 1}

multipliziert, da kommt dann auch das richtige raus; hatte mich gestern nur verrechnet.

Ist die Umformung

(m^{- 1} + n^{- 1}) \cdot m \cdot m^{- 1} \cdot n \cdot n^{- 1} = m^{- 1} \cdot m \cdot m^{- 1} \cdot n \cdot n^{- 1} + n^{- 1} \cdot m \cdot m^{- 1} \cdot n \cdot n^{- 1}

das Distributivgesetz?
Und kann ich statt Existenz des neutralen Elements

(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = m^{- 1} + n^{- 1})

auch Existenz des inversen Elements als Regel angeben?

hagman aktiv_icon

13:30 Uhr, 02.05.2012

Die Existenz des INversen wird ja quasi schon in der Definition von

\frac{1}{m}

benutzt.
Bzw. selbst bei nicht allgemeiner Existenz von Inversen (beispielsweise in

ℤ [\frac{1}{2}],

dem Ring aller Brüche, deren Nenner Zweierpotenzen sind) funktioniert die gesamte Herleitung für diejenigen Fälle, wo

m, n

zufällig ein Inverses haben, obwohl im Allgemeinen keines existiert.

SilverShadow aktiv_icon

15:08 Uhr, 02.05.2012

Also sollte ich es lieber als "Existenz des neutralen Elements" formulieren?

hagman aktiv_icon

16:57 Uhr, 02.05.2012

Ich würde eher "definierende Eigenschaft des neutralen Elements" schreiben, wenn du von

1 \cdot x

auf

x

umformst, und "Existenz des neutralen Elements", wenn du von

x

auf

1 \cdot x

umformst. Oder der Einfachheit halber in beiden Fällen einfach "neutrales Element" :-)

SilverShadow aktiv_icon

17:14 Uhr, 02.05.2012

Und das mit dem Distributivgesetz hat gestimmt?

hagman aktiv_icon

17:31 Uhr, 02.05.2012

Ja, klar, das stimmte.
Wenn du dabei alle Produkte ohne Klammern schreibst, verwendest du übrigens implizit auch das Assoziativgesetz, da

x \cdot y \cdot z

ja bereits nicht mehr zwischen

(x \cdot y) \cdot z

und

x \cdot (y \cdot z)

unterscheidet

SilverShadow aktiv_icon

18:00 Uhr, 02.05.2012

Wunderbar, dann vielen Dank nochmals :-)

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