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Rechenregeln für Limes

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

TrickStyle98 aktiv_icon

15:03 Uhr, 12.01.2018

Hey,

wir sind in Analysis gerade bei Grenzwerten. Ich brauche etwas Hilfe. Folgendes muss ich zeigen (siehe Bild).

Ich brauche einen Ansatz, aber bitte genau erklärt. :-)

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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ledum aktiv_icon

16:54 Uhr, 12.01.2018

Hallo
du benutzt die Definition von

lim_{x \to x_{0} = 0}

und die für

lim

gegen

\infty

du weisst

| f (x) - f (x_{0}) | < ε

dür

| x - x_{0} | < δ

daraus folgere für

\frac{1}{f (x)} > N

für

x

nähe

x_{0}

also keine Rechenregeln sondern die Definitionen
Gruß ledum

TrickStyle98 aktiv_icon

13:56 Uhr, 13.01.2018

Hey,

Danke für die Antwort.

Muss ich mir da eine Funktion ausdenken? Oder wie muss ich da vorgehen?

Sukomaki aktiv_icon

15:27 Uhr, 13.01.2018

Nein, Du denkst Dir keine Funktion aus (was als Vorstellungshilfe
natürlich nicht verkehrt ist), sondern zeigst im Allgemeinen, dass
die Äquivalenz gültig ist.

Dabei kannst Du benutzen, dass aus

\forall x \in ℝ ∖ {x_{0}} : f (x) > 0

folgt, dass

f (x) < ε \Leftrightarrow \frac{1}{f (x)} > \frac{1}{ε}

(einfach durch

f (x)

und

ε

teilen)
Wäre nämlich

f (x) < 0

, so lautete die Ungleichung :

\frac{1}{f (x)} < \frac{1}{ε}

Wir müssen aber zeigen, dass

\frac{1}{f (x)} > \frac{1}{ε}

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

ist gleichbedeutend mit

\forall ε > 0 : \exists δ > 0 : \forall x \in ℝ : ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - 0 ∣ < ε

\forall x \in ℝ ∖ {x_{0}} : f (x) > 0

Deswegen lassen sich die Betragsstriche weglassen und es bleibt :

\forall ε > 0 : \exists δ > 0 : \forall x \in ℝ : ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow f (x) < ε

was äquivalent ist (siehe oben) zu

\forall ε > 0 : \exists δ > 0 : \forall x \in ℝ : ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow \frac{1}{f (x)} > \frac{1}{ε}

was auch geschrieben werden kann als

\forall K > 0 : \exists δ > 0 : \forall x \in ℝ : ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow \frac{1}{f (x)} > K

was gleichbedeutend ist mit

lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{f (x)} = \infty

(weil der Limes größer wird als jede Schranke K)

Wäre

\forall x \in ℝ ∖ {x_{0}} : f (x) < 0

und

lim_{x \to x_{0}} f (x) = 0

, dann wäre

lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{f (x)} = - \infty

Für z.B.

\frac{1}{x}

sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle

x_{0} = 0

unterschiedlich und damit der uneigentliche Grenzwert nicht definiert.

Sukomaki aktiv_icon

01:17 Uhr, 14.01.2018

Hm, sind meine Ausführungen dermaßen fehlerhaft?
Warum meckert dann Keiner?

Sukomaki aktiv_icon

08:51 Uhr, 15.01.2018

Sorry, dass ich noch mal nachhake, aber ich würde gerne wissen
warum mir Keiner antwortet.

Ist wenigstens der Ansatz

f (x) < ε \Leftrightarrow \frac{1}{f (x)} > \frac{1}{ε}

richtig?

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