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Rechteck in einem Kreis

Universität / Fachhochschule

Tags: Kreis, Radius, Rechteck

Olaf1975 aktiv_icon

10:00 Uhr, 24.02.2011

Ein Rechteck passt genau in einem Kreis dessen Radius 4 cm (Durchmesser 8 cm)beträgt. Die kurzen Seiten haben die Länge

(a)

und die langen Seiten

(b)

sind doppelt so lang wie die kurzen Seiten. Wie lang sind die kurzen und die langen Seiten?

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
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Grundbegriffe der ebenen Geometrie
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und was bringt sie mir?

DmitriJakov aktiv_icon

10:08 Uhr, 24.02.2011

Entweder:

y = \frac{1}{2} x

y^{2} + x^{2} = 4^{2}

Oder

y = 2 x

y^{2} + x^{2} = 4^{2}

Die 2. Variante hat jedoch nur

x

und

y

vertauscht, sodass es eigentlich nur eine Lösung gibt.

Yokozuna aktiv_icon

10:59 Uhr, 24.02.2011

Hallo,

die zweite Gleichung ist jeweils

x^{2} + y^{2} = 8^{2}

denn der Durchmesser des Kreises ist 8 und nicht 4.

Viele Grüße
Yokozuna

DmitriJakov aktiv_icon

11:08 Uhr, 24.02.2011

Yokozuna hat recht. Hätte mich nicht so knapp ausdrücken dürfen oder zumindest eine Zeichnung anhängen sollen, um klar zu machen, dass bei mir

x

und

y

nur die halben Seitenlängen sind.

Olaf1975 aktiv_icon

12:17 Uhr, 24.02.2011

a^{2} + b^{2} = c^{2}

ist der Satz des Pythagoras, den kenne ich auch.
So weit bin ich auch schon gewesen.
Ich habe hier aber eine Aufgabe, wo ich die genauen Maße der Kantenlängen ermitteln muss.

Die genaue Lösung würde lauten:

{3,5778}^{2} + {7,1556}^{2} = 8^{2}

ergo
Kantenlänge

x

beträgt

3,5778

cm
Kantenlänge

y

beträgt

7,1556

cm
bei einem Radius des Kreises von 4 cm
bzw. einem Durchmesser von 8 cm

Auf diese Zahlen bin ich durch einfaches herumprobieren gekommen.
Jetzt möchte ich wissen, kann ich diese Zahlen auch mathematisch ermitteln??

DmitriJakov aktiv_icon

12:27 Uhr, 24.02.2011

Löse doch einfach das Gleichungssystem, in iesem Fall also das korrigierte ;-)

y = \frac{1}{2} x

y^{2} + x^{2} = 8^{2}

Heraus kommt:

x = \sqrt{\frac{256}{5}}

uwe39 aktiv_icon

12:27 Uhr, 24.02.2011

Hallo DmitriJakov und Yokozuna,
nachfolgend habe ich den von Euch bereits erläuterten Lösungsweg noch einmal mit den von Olaf vorgegebenen Bezeichnungen (Buchstaben) dargestellt.
Ich glaube, dass sich die Aufgabe dann besser nachvollziehen lässt.
(2r)²= a²

+

b²

b = 2 a

4r² = a²

+

4a²
4r² = 5a²
a²

= \frac{4}{5}

r²L

a = 2 r \sqrt{\frac{1}{5}}

a = 2 r \sqrt{0,2}

Das wars

Olaf1975 aktiv_icon

12:38 Uhr, 24.02.2011

Danke,
Das ist genau die Formel die ich benötigt habe.

Olaf1975 aktiv_icon

12:39 Uhr, 24.02.2011

Danke,
Das ist genau die Formel die ich benötigt habe.

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