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Regeln auf einem Körper beweisen?

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Anordnungsaxiome, Beweis, Körper, regeln, totalität, totalordnung

rawlph aktiv_icon

22:05 Uhr, 17.10.2009

Hallo!

Es geht um folgende Aufgabe:

Es sei ein angeordneter Körper (K,+,*,P). Man zeige (für alle x,y,z aus K):

$x \leq y \lor y \leq x$ (Totalität).

Also... meine bisherigen Lösungsversuche fielen eher mager aus, ich konnte jedoch einige Tatsachen herausschreiben.

$x \leq y \lor y \leq x$ <=> $(x < y \lor x = y) \lor (y < x \lor y = x)$

Außerdem weiß ich, dass die beiden Anordnungsaxiome auf meinem Körper herrschen, da er als "angeordneter Körper" gefordert ist.

Also gilt:

(1.) $x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z$

(2.) $0 \leq x \land 0 \leq b \Rightarrow 0 \leq a \cdot b$

Mein Ansatz:

Ich muss $x \leq y \lor y \leq x$ zeigen.

Also:

$x \leq y \lor y \leq x$ $\Rightarrow$ (1.)

und

$x \leq y \lor y \leq x$ $\Rightarrow$ (2.).

Dann hätte ich doch gezeigt, dass $x \leq y \lor y \leq x$ immer auf meinem Körper gelten muss, und somit "bewiesen", oder nicht?

Werde, falls wir dieses Beispiel zusammen lösen können, vielleicht noch bei einigen dieser Art hilfe benötigen- aber erstmal hier zur Sache:)!

Würde mich über einige Vorschläge/Erklärungshilfen sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

22:48 Uhr, 17.10.2009

Hallo Ralph,

hm, ich habe eine Vermutung, dass der Beweis mit dem $P$ in $(K, +, \cdot, P)$ zu tun hat. Gib doch mal alle(!) Axiome (außer die reinen Körperaxiome) an, was $(K, +, \cdot, P)$ zu einem ANGEORDNETEM Körper macht.

Mfg Michael

rawlph aktiv_icon

23:16 Uhr, 17.10.2009

Hallo nochmal und danke für die Antwort am späten Abend:)!

Ich bin mir nicht sicher welche Axiome du nun meinst, ich habe hier im Skriptum weitere "Rechenregeln" zu angeordneten Körper mit beliebigen a,b,x,y,z in K gefunden:

(i) $x \leq x$ (Reflexivität)

(ii) $(x \leq y \land y \leq x) \Rightarrow x = y$ (Antisymmetrie).

(iii) $(x \leq y \land y \leq z) \Rightarrow x \leq z$ (Transitivität).

(iv) $x \leq y \lor y \leq x$ (Totalität).

(v) $(x \leq y \land a \leq b) \Rightarrow x + a \leq y + b$ .

(vi) $x \leq y \Rightarrow - x \geq - y$ .

(vii) $(z > 0 \land x \leq y) \Rightarrow x z \leq y z u n d (z < 0 \land x \leq y) \Rightarrow x z \geq y z$

(viii) $x \neq 0 \Rightarrow - x > 0. I n s b e s o n d e r e : 1 > 0$

(ix) $x > 0 \Rightarrow x$ ^-1 $> 0 u n d x < 0 \Rightarrow x$ ^-1 $< 0.$

(x) $0 < x \leq y \Rightarrow (x / y \leq 1 \leq y / x \land x$ ^-1 $\geq y$ ^-1 $) .$

(xi) $(0 < x \leq y \land 0 < a \leq b) \Rightarrow x a \leq y b .$

(xiii) $x < y \Rightarrow y < (x + y) / 2 < y, w o b e i 2 : = 1 + 1$

Puh.

Das sind alle Regeln/Axiome, die ich finden konnte. Meintest du andere? Bei der Antisymmetrie und der Transitivität, sowie bei regel (v) dachte ich mir, dass sie etwas mit dem beweis zu tun haben könnten.

michaL aktiv_icon

23:29 Uhr, 17.10.2009

Hallo Ralph,

hm, ich weiß nicht. Wozu ist denn bei einem angeordneten Körper das $P$ da ("Es sei ein angeordneter Körper (K,+,*,P).")? Ist das nicht der Positivitätsbereich? Gilt dafür nicht die Trichotomie, d.h. genau einer der drei Fälle $x \in P$ oder $- x \in P$ oder $x = 0$ ?

Ansonsten verstehe ich nicht, wie man das beweisen soll. Dein (iv) ist doch sicher eine Rechenregel (die man beweisen kann) und kein Axiom, oder?

Mfg Michael

rawlph aktiv_icon

23:52 Uhr, 17.10.2009

Genau von diesem P ist die Rede im Skriptum.

Wir teilten die reellen Zahlen in P, {0}, -P.. aber ich wüsste nicht, ob genau von diesem P auch in dem Übungsbeispiel die Rede ist.

Ob uns das weiterhilft?

michaL aktiv_icon

00:07 Uhr, 18.10.2009

Hallo Ralph,

siehste, wusste ich es doch ;-)

Ok, also gilt: $K = P \overset{•}{\cup} {0} \overset{•}{\cup} - P$ , wobei $\overset{•}{\cup}$ disjunkte Vereinigung heißen soll.

Seien $x, y \in K$ verschieden, zeige: $x < y \lor y < x$ , wobei $y < x \overset{}{\Leftrightarrow} x - y \in P$ gelten soll.
Sei nun $a := x - y$ .
Wegen $x \neq y$ gilt also $a \neq 0 \overset{}{\Leftrightarrow} a \notin {0}$ .
Bleiben also nur die Fälle $a \in P$ oder $a \in - P$ .
Falls $a \in P$ , dann gilt also definitionsgemäß $0 < a \overset{}{\Leftrightarrow} 0 < x - y \overset{}{\Leftrightarrow} 0 + y < x - y + y \overset{}{\Leftrightarrow} y < x$ .
Im anderen Fall ist also $a \in - P \overset{}{\Leftrightarrow} - a \in P$ , d.h. und das kannst du ja mal allein fertig machen, gell?

Mfg Michael

rawlph aktiv_icon

13:11 Uhr, 18.10.2009

Hm du beginnst mit "zeige: $x < y \lor y < x$ " Das vewirrt mich bisschen, dachte es wäre : $x \leq y \lor y \leq x$ zu zeigen?

Hab gestern jedenfalls noch versucht:

$x \leq y \lor y \leq x$ $\Leftrightarrow$ $(x < y \lor x = y) \lor (y < x \lor y = x)$

$x \leq y \lor y \leq x$ $\Leftrightarrow$ $(y - x) \in P \lor (x - y) \in {0} \lor (x - y) \in P \lor (y - x) \in {0}$

$x \leq y \lor y \leq x$ $\Leftrightarrow$ $(y - x) \in P \cup {0} \cup (- P)$

Ich bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich das ohneweiters so darf...und eigentlich muss ich ja dann auch noch zeigen, dass $- (y - x) \in (- P)$ gilt. Oder nicht?

Ich versuchs mal zu zeigen..:

K= $(y - x) \in P \cup {0} \cup (- P)$ $\Leftrightarrow$ $(y - x) \in P \lor (y - x) \in {0} \lor (y - x) \in (- P)$ $\Rightarrow (y - x) \in K * \Rightarrow - (y - x) \in (- P)$ $\Rightarrow - (y - x) \in K$

*= Wir haben P so definiert, dass... $x \in P, 0 \in {0}, - x \in (- P)$ ..

gilt mein Beweis, wenn ich ihn so anschreibe, oder übersehe ich etwas wesentliches?/kleines?

michaL aktiv_icon

13:25 Uhr, 18.10.2009

Hallo Ralph,

ich muss wirklich genauer lesen, ich tu mich im Moment ein bisschen schwer mit den Details.

Wenn ihr $x < y \lor x = y \lor y < x$ verwenden dürft, dann ist es einfach. Dann braucht man nur, dass der Wahrheitsgehalt bei oder-Verknüpfung durch nochmaliges(!) Hinzufügen von $\lor x = y$ nicht geändert wird.

Also gilt: $x < y \lor x = y \lor y < x$ $\overset{}{\Leftrightarrow}$ $x < y \lor x = y \lor y < x \lor x = y$ . Nun kann man geeignet Klammer setzen, da $" \lor "$ assoziativ ist. Etwa so: $x < y \lor x = y \lor y < x \lor x = y$ $\overset{}{\Leftrightarrow}$ $(x < y \lor x = y) \lor (y < x \lor x = y)$ . Die Klammern sind gleichbedeutend mit $x \leq y$ bzw. $y \leq x$ .

Das geht in etwa in die Richtung, die du angefangen hattest, gell? Ist es das, was du so dachtest, oder dürfen wir irgendwas von dem hier nicht verwenden?

Es ist für mich einfach nicht immer leicht, die jeweiligen bekannten Voraussetzungen rauszufinden, und offenbar auch nicht, die Aufgaben im Detail zu lesen :-(

Mfg Michael

rawlph aktiv_icon

13:33 Uhr, 18.10.2009

Verstehe, dass das deine Antwortmöglichkeiten etwas einschränkt.. würde dir auch helfen, aber hab selbst noch nicht so den Überblick.

Im Skriptum steht, "wir sagen dass:

x< y, wenn y-x in P

x>y, wenn x-y in P

x kleiner oder gleich y, wenn x<y oder x=y

x größer oder gleich y, wenn x>y oder x=y

Dachte mir also, ich dürfte das so verwenden.

michaL aktiv_icon

19:20 Uhr, 19.10.2009

Hallo Ralph,

sorry, dass ich mich so lange nicht gemeldet habe, aber es ist nicht einfach, den Überblick zu behalten.

Gehen wir also von dem aus, was du als letztes geschrieben hast.

Seien also $x, y \in K$ .
Wenn $x = y$ ist, dann gilt auch $x \leq y$ (auch $y \leq x$ , aber das ist ja egal.
Ist $x \neq y$ , so betrachten wir $z := x - y$ . Eigenschaft von $P$ ist (hoffentlich), dass entweder $z \in P$ oder $- z \in P$ .
Das ist aber gleichbedeutend mit $x > y$ bzw. $y > x$ .
Wenn $x > y$ , so gilt erst recht $x \geq y$ , wenn $y > x$ , dann erst recht $y \geq x$ .
Also gilt (erst recht) $x \leq y$ oder $x \geq y$ .

Das sollte es aber sein.

Mfg Michael

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