Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Reihen auf Konvergenz untersuchen

Reihen auf Konvergenz untersuchen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Bright35

Bright35 aktiv_icon

19:21 Uhr, 08.09.2021

Antworten
Hallo zusammen,

ich wäre gerade an 2 Aufgaben bezüglich der Konvergenz dran und zwar an folgenden (Siehe Bild 1).

Bei der 1 Aufgabe verstehe ich eigentlich alles bis auf diesen Teil hier (Siehe Pfeil Bild 2).

Wieso wird es mit <2 verglichen und warum mit 12n. Wie kommt man darauf? Könnte mir da vielleicht bitte jemand das Konzept erklären?

Vielen Dank im Voraus.

Aufgabe Konvergenz
Musterlösung Konvergenz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:44 Uhr, 08.09.2021

Antworten
> (Siehe Pfeil Bild 2).
Welcher Pfeil??

> Wie kommt man darauf?
Nun, Eingebung oder Erahrung, d.h. man hat den Trick schon einmal gesehen und ihn sich gemerkt. Man greift auf bereits Bekanntes zurück (Grenzwert von <nn>) und versucht eine Abschätzung damit.

> Wieso wird es mit <2 verglichen und warum mit 12n.
Nun, das müsste nicht zwangsläufig 2 sein.
man verwendet, dass der Grenzwet der Folge <nn> gleich 1 ist. Das bedeutet, dass es für jedes ε>0 einen Index n0, sodass ab diesem Index alle Folgenglieder in der epsilon-Umgebung des Grenzwerts liegen.
Wählt man ε=1, dann gilt also für alle nn0:1-1nn1+1
Du könntest auch ε=110 wählen und dann gibt es (ein anderes) n0 so, dass für alle nn0 gilt: 1-110nn1+110
Spielen wir das nun für ε=110 durch und du kannst dann ja selbst das Gleiche mit ε=1 machen und dadurch die Musterlösung hoffentlich besser verstehen.
Bildet man nun bei der Ungleichungskette
910nn1110
die Kehrwerte, drehen sich auch die Ungleichheitszeichen um und man erhält
10111nn109
Von dieser Kette benötigen wir für die geplante Abschätzung nur den ersten Teil
10111nn
Beidseitige Divison durch n liefert
10111n1nnn
und da haben wir auch schon eine Abschätzung für die gegebene Folge. Ab einem Index n0 sind alle Glieder größer oder gleich als die entsprechenden Glieder der mit 1011 multiplizierten harmonischen Folge. Da letztere aber divergent muss zwangsläufig (Minorantenkriterium) auch die gegebene Folge divergent sein.

Bright35

Bright35 aktiv_icon

20:12 Uhr, 09.09.2021

Antworten
Hallo,

vielen Dank schon mal. Ich verstehe aber irgendwie immer noch nicht ganz wie man auf die 12n kommt.
Antwort
Roman-22

Roman-22

02:16 Uhr, 10.09.2021

Antworten
> Ich verstehe aber irgendwie immer noch nicht ganz wie man auf die 12⋅n kommt.
Hast du meine Ausführungen mit ε=110 verstanden und die dann analog mit ε=1 durchgespielt?
Was erhältst du damit zunächst als obere Grenze (mit "meinem" ε war das 1110)?
Und was wird daraus, wenn du den Kehrwert bildest und dann durch n dividierst?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.