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Reihen auf Konvergenz untersuchen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Bright35 aktiv_icon

19:21 Uhr, 08.09.2021

Hallo zusammen,

ich wäre gerade an 2 Aufgaben bezüglich der Konvergenz dran und zwar an folgenden (Siehe Bild

1)

.

Bei der 1 Aufgabe verstehe ich eigentlich alles bis auf diesen Teil hier (Siehe Pfeil Bild

2)

.

Wieso wird es mit

< 2

verglichen und warum mit

\frac{1}{2 n}

. Wie kommt man darauf? Könnte mir da vielleicht bitte jemand das Konzept erklären?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Roman-22

20:44 Uhr, 08.09.2021

>

(Siehe Pfeil Bild

2)

.
Welcher Pfeil??

>

Wie kommt man darauf?
Nun, Eingebung oder Erahrung,

d . h

. man hat den Trick schon einmal gesehen und ihn sich gemerkt. Man greift auf bereits Bekanntes zurück (Grenzwert von

< \sqrt[n]{n} >)

und versucht eine Abschätzung damit.

>

Wieso wird es mit

< 2

verglichen und warum mit

12 n

.
Nun, das müsste nicht zwangsläufig 2 sein.
man verwendet, dass der Grenzwet der Folge

< \sqrt[n]{n} >

gleich 1 ist. Das bedeutet, dass es für jedes

ε > 0

einen Index

n_{0},

sodass ab diesem Index alle Folgenglieder in der epsilon-Umgebung des Grenzwerts liegen.
Wählt man

ε = 1,

dann gilt also für alle

n \geq n_{0} : 1 - 1 \leq \sqrt[n]{n} \leq 1 + 1

Du könntest auch

ε = \frac{1}{10}

wählen und dann gibt es (ein anderes)

n_{0}

so, dass für alle

n \geq n_{0}

gilt:

1 - \frac{1}{10} \leq \sqrt[n]{n} \leq 1 + \frac{1}{10}

Spielen wir das nun für

ε = \frac{1}{10}

durch und du kannst dann ja selbst das Gleiche mit

ε = 1

machen und dadurch die Musterlösung hoffentlich besser verstehen.
Bildet man nun bei der Ungleichungskette

\frac{9}{10} \leq \sqrt[n]{n} \leq \frac{11}{10}

die Kehrwerte, drehen sich auch die Ungleichheitszeichen um und man erhält

\frac{10}{11} \leq \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \leq \frac{10}{9}

Von dieser Kette benötigen wir für die geplante Abschätzung nur den ersten Teil

\frac{10}{11} \leq \frac{1}{\sqrt[n]{n}}

Beidseitige Divison durch

n

liefert

\frac{10}{11} \cdot \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{n}}

und da haben wir auch schon eine Abschätzung für die gegebene Folge. Ab einem Index

n_{0}

sind alle Glieder größer oder gleich als die entsprechenden Glieder der mit

\frac{10}{11}

multiplizierten harmonischen Folge. Da letztere aber divergent muss zwangsläufig (Minorantenkriterium) auch die gegebene Folge divergent sein.

Bright35 aktiv_icon

20:12 Uhr, 09.09.2021

Hallo,

vielen Dank schon mal. Ich verstehe aber irgendwie immer noch nicht ganz wie man auf die

\frac{1}{2 \cdot n}

kommt.

Roman-22

02:16 Uhr, 10.09.2021

>

Ich verstehe aber irgendwie immer noch nicht ganz wie man auf die 12⋅n kommt.
Hast du meine Ausführungen mit

ε = \frac{1}{10}

verstanden und die dann analog mit

ε = 1

durchgespielt?
Was erhältst du damit zunächst als obere Grenze (mit "meinem"

ε

war das

\frac{11}{10})

?
Und was wird daraus, wenn du den Kehrwert bildest und dann durch

n

dividierst?

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