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Rekursionsformel Beweis

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Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Binominalkoeffizient, Folgen, Reihen, Rekursionsformel

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DennisCH10

DennisCH10 aktiv_icon

19:02 Uhr, 17.12.2009

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Hallo Leute,

es geht um diese Formel:

$(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})$

"Man zeige durch Nachrechnen, dass gilt:" ist die Aufgabe.

Nun, bei Wikipedia habe ich schon nachgeschaut und daraus werd ich auch nicht schlau. Ich weiß, dass es die Rekursionsformel der Formel für das Ausrechnen für Binominalkoeffizienten

ist. Was das Pascalsche Dreieck ist, weiß ich auch, ich kenne es zumindest.

Aber ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich das dann "zeigen" soll...wäre also dankbar für einen Rechenweg oder eine Seite auf der das erklärt wird, wurde nämlich nicht wirklich fündig.

Bin für jede konsturktive Antwort dankbar!

PS: Die Klammern sind wohl nich so gut geworden, es soll jeweils n über k - 1 etc heißen.

Die Klammern sollen beide Werte umklammern.

mfg!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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hagman

hagman aktiv_icon

19:21 Uhr, 17.12.2009

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Wie ist bei euch denn

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

definiert?

DennisCH10

DennisCH10 aktiv_icon

19:29 Uhr, 17.12.2009

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Was meinst du damit?

Es stand kein Definitionshinweis dabei, lediglich das, was ich hier hingeschrieben habe...

Deswegen kapier ich es auch nicht wie man das was schon da steht "zeigen" soll..

mfg

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hagman

hagman aktiv_icon

19:36 Uhr, 17.12.2009

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An welcher Stelle eurer Vorlesung tauchte denn jemals ein Konstrukt

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

erstmals auf? Dort muss eine Definition gegeben worden sein.
Es gibt da zahlreiche Varianten:
1. Koeffizient von

x^{k}

in der Entwicklung von

{(1 + x)}^{n}

?
2. Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge?
3.

\frac{n!}{k! (n -)!}

?
4. Rekursiv per

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1

und

(\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix}) := ((n), k - 1)) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

?
5.

. .

.
Am praktischsten für diese Aufgabe wäre natürlich die Definition 3. :-)

DennisCH10

DennisCH10 aktiv_icon

19:39 Uhr, 17.12.2009

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Ja das war Drittens :)

In Bezug auf die Formel für das Ausrechnen von Binominalkoeffizienten

$\frac{n!}{k! (n - k)!}$

DennisCH10

DennisCH10 aktiv_icon

20:05 Uhr, 17.12.2009

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weiß nun einer wies geht? :(

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michaL

michaL aktiv_icon

21:09 Uhr, 17.12.2009

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Hallo Dennis,

es gilt mit der Definition:

(\binom{n}{k - 1}) = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!}

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

(\binom{n + 1}{k}) = \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n + 1 - k)!}

Jetzt bringst du die ersten beiden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

(\binom{n}{k - 1}) = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!} \cdot \frac{k}{k} = \frac{k \cdot n!}{k \cdot (k - 1)! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{k \cdot n!}{k! \cdot (n - k + 1)!}

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot \frac{n - k + 1}{n - k + 1} = \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k! \cdot (n - k + 1) \cdot (n - k)!} = \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k! \cdot (n - k + 1)!}

Jetzt addierst du die beiden Brüche und klammerst im Zähler

n!

aus:

(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k}) = \frac{k \cdot n!}{k! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot (k + n - k + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot (n + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = (\binom{n + 1}{k})

Also alles nur Bruchrechnung auf 10. Klasse-Niveau.

Mfg Michael

Frage beantwortet

DennisCH10

DennisCH10 aktiv_icon

21:11 Uhr, 17.12.2009

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Ok danke ! :D

ja Bruchrechnen kann ich schon, aber auf sowas zu kommen schaff ich noch nich wirklich :P

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