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Relation von reellen Polynomen + Begründung

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Begründung, Beweis, bijektiv, injektiv, polynom, reelle Polynome, surjektiv

Kartoffelbrei aktiv_icon

03:03 Uhr, 04.11.2016

Hallo alle zusammen!

Ich hab hier 'ne Hausaufgabe eines Mathestudenten

(1

. Semester) bekommen und verstehe... wenig. Würde es aber gerne verstehen und da er es mir nicht erklären kann, wende ich mich mal an Leute die es mir hoffentlich erklären können (also Euch).

Undzwar soll bestimmt werden ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist mit Begründung (Beweis?).

Es handelt sich hierbei um die Abbildung

f : Π_{n} \to Π_{n},

wobei

Π_{n}

der Menge aller reellen Polynome entspricht.

Π_{n} := {p : ℝ \to ℝ | p (x)} = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} x^{k}

mit

{a_{0}, ..., a_{n} \in ℝ}

(p . s

. | wurde automatisch formatiert, ich weiß nicht wie ich das wegbekomme)

Die Abbildung

f

bildet jedes Polynom

p \in Π_{n}

auf dessen Ableitung ab,

d . h

p \to p'

Ich als nicht Mathematiker bin jetzt so vorgegangen, dass ich mir von der allgemeinen Form ersteinmal die ersten 4 Grade aufgeschrieben hatte

+

deren Ableitungen, bis mir dann aufgefallen ist, dass ich nichtmal wirklich verstehe was eine "Abbildung" ist. Ich hatte das damals so gelernt, dass man eine Menge A hat und wenn man diese auf die Menge

B

abbildet, dann gibt es eine Relation je nachdem wie oft die Teilmengen von A die Zielmengen in

B

treffen, aber ich kann das gerade nicht gedanklich übertragen und das ich mich mit Mengenlehre beschäftigen musste ist unterdessen auch schon ein paar Jahre her.

Schonmal danke an alle, die sich die Mühe machen mir das zu erklären :-)

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HilbertRaum aktiv_icon

08:23 Uhr, 04.11.2016

Unter einer Abbildung versteht man eine Zuordnungsvorschrift, die vorschreibt, wie ein Element x einer Menge X genau einem Element y einer Menge Y zugeordnet wird (X und Y können identisch sein).
Beispiel: eine natürliche Zahl x wird einer natürlichen Zahl

y = x^{2}

zugeordnet, also

y = f (x) = x^{2}

.

In deinem Beispiel ist die Menge

X = Y = Π_{n}

.
Bijektiv wäre dein f, wenn jedem Polynom genau eine Ableitung zugeordnet wird und umgekehrt (dann ist f auch surjektiv und injektiv).
Surjektiv wäre f, wenn jedes Element aus

Π_{n}

eine Ableitung ist, für die ein zugehöriges Polynom gefunden werden kann.
Injektiv wäre f, wenn stets für zwei gleiche Ableitungen folgt, dass die zugehörigen Polynome ebenfalls gleich sein müssen.

sei n=2
Wenn man sich z.B.

f ʹ (x) = x

ansieht, dann gibt gibt es überabzählbar viele Polynome f, denen man diese Ableitung zuordnen kann:

f (x) = \frac{x^{2}}{2} + c

: c reell. Was folgt daraus?

Darüberhinaus: für

f ʹ (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} \in Π_{2}, a_{2} \neq 0

scheint es gar kein f in

Π_{2}

zu geben... Was bedeutet das?

Kartoffelbrei aktiv_icon

02:26 Uhr, 05.11.2016

Also bedeutet das, dass in deinem Beispiel bei jeder natürlichen Zahl

x

das Quadrat die Abbildung ist? Bei

x = 2

also

y = f (2) = 2^{2} = 4

. Damit wäre die Abbildung von

2, 4

? Vorausgesetzt die beiden Mengen

X

und

Y

beinhalten diese beiden Elemente.

Heißt das, dass das Integral von

f' (x),

also

f (x),

die Abbildung ist? Wenn ja, dann müsste das in diesem Fall Bijektiv sein, da jeder Ableitung nur eine Funktion zugeordnet werden kann.

hmmmm...

f (x) = a_{0} x + \frac{a_{1} x^{2}}{2} + \frac{a_{2} x^{3}}{3} + c

geht nicht, weil es in der Menge

Π_{2}

nicht vorkommt? Und aus welchem Grund ist

a_{2} \neq 0

wichtig? Und daraus würde folgen, dass es keine Relation gibt.
Aber falls meine Begründung richtig sein sollte (was ich erstmal nicht glaube, fühle mich da noch etwas verloren :-D)), dann dürfte es doch für alle

Π_{n}

keine Relation geben.

HilbertRaum aktiv_icon

13:06 Uhr, 05.11.2016

"Also bedeutet das, dass in deinem Beispiel bei jeder natürlichen Zahl x das Quadrat die Abbildung ist?"
--> Die Abbildung ordnet jedem x ein

x^{2}

zu.

"Bei x=2 also y=f(2)=

2^{2}

=4."
-->Ja
"Damit wäre die Abbildung von 2,4? "
-->Als Relation auf Mengen aufgefasst stellt das geordnete(!) Paar (2,4) ein Element der Abbildung dar.

"Heißt das, dass das Integral von f′(x), also f(x), die Abbildung ist?"
-->Die Abbildung ist nach deiner Aufgabenstellung

D : Π_{n} \to Π_{n}

, wobei D die Ableitung darstellt (genannt Differentialoperator). D.h. einem Polynom

p \in Π_{n}

wird seine Ableitung zugeordnet:

D p = D (p) = p ʹ

.
(Das Integral wäre die Umkehrabbildung, die aber hier nicht herangezogen werden sollte, da sie nicht immer existieren muss. Du betrachtest also nur deine Abbildung.)

"Wenn ja, dann müsste das in diesem Fall Bijektiv sein, da jeder Ableitung nur eine Funktion zugeordnet werden kann."
--> D ist genau dann bijektiv, wenn JEDEM

p ʹ \in Π_{n}

genau ein

p \in Π_{n}

zugeordnet wird.
Beispiel:

p ʹ \in Π_{2}

sei

p ʹ = 1 + 2 x + 3 x^{2}

. Für dieses p' existiert kein

p \in Π_{2}

so, dass

D p = 1 + 2 x + 3 x^{2}

. Damit kann D nicht bijektiv sein.

"hmmmm...

f (x) = a_{0} x + a_{1} x_{2}^{2} + a_{2} x_{3}^{3} + c

geht nicht, weil es in der Menge Π2 nicht vorkommt?"
-->Ja.

"Und aus welchem Grund ist a2≠0 wichtig? Und daraus würde folgen, dass es keine Relation gibt."
-->Für

a_{2} = 0

würde der quaratischen Anteil in p' wegfallen, dann findet man natürlich ein p mit Dp=p'.

Kartoffelbrei aktiv_icon

22:18 Uhr, 06.11.2016

Vielen Dank! Ich denke damit ist die Frage beantwortet :-)

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