Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Riemann integrierbar

Riemann integrierbar

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis

Randolph Esser aktiv_icon

00:29 Uhr, 15.08.2026

Hallo,

kennt jemand einen schnuckeligen Beweis für folgende Aussage ?

Seien

f, g : [a, b] \to ℝ, f

stetig und

g \geq 0

Riemann-integrierbar.

Dann ist auch

f g : [a, b] \to ℝ

Riemann-integrierbar,

d . h

. es existiert

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

17:12 Uhr, 15.08.2026

Hallo zusammen,

wie weit müssen wir den wieder hinabsteigen?

Eine stetige Funktion auf kompaktem Intervall ist gemäß Lebesgue selbst riemann-integrierbar.
Das Produkt zweier riemann-integrierbarer Funktionen ist wieder riemann integrierbar.

Wenn du die zwei Aussagen (Lebesguekriterium, Produkte riemann-integrierbarer Funktionen sind wieder riemann-integierbar) nicht hast, so kann man einen längeren Weg über

f \cdot g = \frac{1}{4} [(f + g)^{2} - (f - g)^{2}]

versuchen.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

17:12 Uhr, 15.08.2026

Hallo zusammen,

Doublette, bitte um Entschuldigung.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

19:59 Uhr, 15.08.2026

Hallo Michael,

natürlich habe ich Deine zwei Aussagen nicht,
sonst würde ich wohl kaum fragen.

f

stetig impliziert ja

f

Riemann-integrierbar.
Aber

g

Riemann integrierbar impliziert nicht

g

stetig
(und somit gleichmäßig stetig), denn dann
wäre ich auch schon fertig.
Der Level ist Analysis

1,

was ich gerade wiederhole,
und ein Beweis der Aussage sollte
auch mit diesem Level arbeiten,
wenn möglich.
In meinem Analysis

1 -

Skript
wird im letzten Kapitel das Riemann-Integral
aus dem Boden gestampft. Alles ganz robust
über Infimum und Supremum von Treppenfunktionen usw..
Dann gibt es noch eine kleine Auswahl Sätze dazu
und fertig ist das Riemann-Starter-Kit.
Lebesgue ist da noch ein Fremdwort.

Und wenn Du (wir) Probleme mit dem "Herabsteigen" hast,
solltest Du eventuell vielleicht überhaupt
nicht auf meine Frage antworten.
Ich bin nicht irgendwie gestern erst vom Baum gestiegen,
und möchte auch nicht so behandelt werden...

Randolph Esser aktiv_icon

20:49 Uhr, 15.08.2026

Der einzige Satz in besagtem Skript,
um Riemann-Integrierbarkeit zu zeigen,
ist Satz

9.9

im Anhang.
Den würde ich deswegen auch gerne anwenden.

Als (Folge von) Treppenfunktionen würde ich für

n \in ℕ

mit

q := \frac{b - a}{n}

φ (x) := u_{k} := I n f {f (x) g (x) : x \in [q (k - 1), q]}

für alle

x \in [q (k - 1), q], 1 \leq k \leq n

und

ψ (x) := o_{k} := S u p {f (x) g (x) : x \in [q (k - 1), q]}

für alle

x \in [q (k - 1), q], 1 \leq k \leq n

wählen. Zu zeigen wäre dann, dass für

ε > 0

\int_{a}^{b} ψ (x) d x - \int_{a}^{b} φ (x) d x = q \sum_{k = 1}^{n} (o_{k} - u_{k}) < ε

für hinreichend große

n

gilt.

Das dafür notwendige Abschätzen von etwaigen Beträgen

| f (x) g (x) - f (y) g (y) |

ist bislang an der nicht gegebenen Stetigkeit von

g

gescheitert.

So gelingt

z . B

. schnell die Abschätzung

| f (x) g (x) - f (y) g (y) | \leq | f (x) | | (g (x) - g (y) | + | g (y) | | f (x) - f (y) |

\leq K | g (x) - g (y) | + M | f (x) - f (y) |

für geeignete

K, M \in ℝ_{> 0},

g, f

beschränkt sind,

und

| f (x) - f (y) |

kann auf geeignet kleinen Intervallen

auch beliebig klein abgeschätzt werden,

da

f

gleichmäßig stetig ist

(z . B

| f (x) - f (y) | < \frac{ε}{2 (b - a) M}

für alle

x, y \in [a, b]

mit

| x - y | < q

für hinreichend große

n)

aber mit

| g (x) - g (y) |

klappt dasselbe eben nicht,

da

g

nicht stetig zu sein braucht,

und daran scheitere ich bisher.

Jumanji

10:03 Uhr, 16.08.2026

Ich denke es liegt am Ansatz.
Hier ganz kurz wie ich vorgehen würde: erst mit satz

9.9

eine treppenfunktion für

g

finden.
Dann nutzen das

f

auf

[a, b]

gleichmäßig stetig ist. Damit dann Treppenfunktionen für

f \cdot g

konstruieren und zeigen, das das Integral der Differenz beliebig klein wird.

Randolph Esser aktiv_icon

19:53 Uhr, 16.08.2026

Hat sich erledigt, Danke.
Bei Otto Forster steht's, Satz

6,

Kapitel

18

.
Fast wie mein Skript, nur dass dieser Teil fehlt.

Ich entschuldige mich dafür, hier die Pferde scheu gemacht zu haben,
und verbleibe mit Dank und Gruß an die letzten Humanoiden
in diesem Matheforum, Hüstel...

Randolph Esser aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.08.2026

Jumanji, schreib mal auf, so richtig formal ausführlich
(viel Spaß).
Ja nö, ihr kriegt natürlich beide ein
"Hat mir super geholfen"...

Randolph Esser aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.08.2026

Jumanji, schreib mal auf, so richtig formal ausführlich
(viel Spaß).
Ja nö, ihr kriegt natürlich beide ein
"Hat mir super geholfen"...

Randolph Esser aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.08.2026

Jumanji, schreib mal auf, so richtig formal ausführlich
(viel Spaß).
Ja nö, ihr kriegt natürlich beide ein
"Hat mir super geholfen"...

Jumanji

10:50 Uhr, 17.08.2026

Z . B

. so

Jumanji

10:50 Uhr, 17.08.2026

Z . B

. so

Randolph Esser aktiv_icon

13:35 Uhr, 17.08.2026

Ja, Danke, super, sogar
mit Korrektur

+

statt - im zweiten Take.
Aber wenn ich sowas als Übungsbearbeitung
abgeben würde, würde überall in Rot "warum ?"
daneben stehen. Die wollen da
(insbesondere in meinem letzten Informatik-Modul GTI)
jeden Furz "erklärt" und "beschrieben" haben.
Mann, das nervt vielleicht,
und verblöden tut man auch dabei.
Wisst ihr, wie blöd man sich dabei vorkommt,
einen Turing-Automaten durch einen Fließtext
zu beschreiben ?
Da tut Dein Beweis mal so richtig gut
und hilft mir, in der vorlesungsfreien Zeit
wieder zurück in die Spur zu kommen, Jumanji
(bin total traumatisiert von diesem
schrottigen Nullniveau an der Uni)...

Randolph Esser aktiv_icon

14:50 Uhr, 17.08.2026

Haken machen...

1592590

1592577

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?