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Riemann-integrierbare Funktionen, punktweise Konv.

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Tags: Abbildung, Funktion, Funktionenfolgen, Grenzwert, Integration, Konvergenz, lim, Punktweise Konvergenz, Riemann-Integral, Vektorraum

paulwu aktiv_icon

22:59 Uhr, 21.04.2015

Hallo,
ich sitz grad vor einer Aufgabe und weiß nicht wirklich wie ich da rangehen soll.
Es ist die Menge

V := {f : [a, b] \to ℝ : f

ist Riemann-integrierbar

}

gegeben. Diese ist ein Untervektorraum des Vektorraums der Abbildungen Ab([a,b],

ℝ)

. Zu zeigen ist nun, dass

V

bezüglich der punktweisen Konvergenz nicht abgeschlossen ist, also es gibt eine Folge

{(f_{n})}_{n \in ℕ} \subset V,

sodass für

f (x) := lim_{n \to \infty} f_{n} (x) (x \in [a, b])

gilt, dass

f \notin V

.
Weiß vielleicht wie man das am besten macht oder zeigt?
Schon mal danke für hilfreiche Antworten :-).

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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DrBoogie aktiv_icon

23:08 Uhr, 21.04.2015

Z.B.

f_{n} (x) = 0

für

x

aus

[0, 1 / n]

f_{n} (x) = 1 / x

für

x

aus

(1 / n, 1]

.
Alle

f_{n} (x)

integrierbar auf

[0, 1]

f (x) = lim_{n} f_{n} (x)

nicht integrierbar.

PhantomV aktiv_icon

23:53 Uhr, 21.04.2015

Hi,

findest du vllt ein Gegenbeispiel dazu?

Gruß PhantomV

PhantomV aktiv_icon

00:06 Uhr, 22.04.2015

@DrBoogie: Was wäre denn deine Grenzfunktion?

DrBoogie aktiv_icon

08:02 Uhr, 22.04.2015

Die Grenzfunktion ist natürlich

f (x) = 1 / x

für

x \in (0, 1]

und

f (0) = 0

. Überall stetig außer in

0

, aber nicht integrierbar (

\int_{0}^{1} f (x) d x = \infty

paulwu aktiv_icon

14:42 Uhr, 22.04.2015

Danke für die Antworten.
Also nehme ich als gegen Beispiel die Funktion die DrBoogie genannt hat:

f_{n} = 0

für

x \in [0, (\frac{1}{n})]

f_{n} = \frac{1}{x}

für

x \in [(\frac{1}{n}), 1]

Für jedes

n

kann ich diese Funktion dann die Funktion Riemann-integrieren, jedoch für

n \to \infty

hab ich dann

f (x) = \frac{1}{x} (x \in [0,1])

. Diese Funktion ist dann nicht mehr Riemann-integrierbar, weil dass Integral von 0 bis 1 gegen

\infty

geht. Und so hab ich gezeigt dass

V

nicht abgeschlossen ist bzgl der punktweisen Konvergenz.
Ist das dann so richtig argumentiert?
Und Stetigkeit von der Funktionenfolge ist ja nicht notwendig für Riemann-integrierbarkeit?

DrBoogie aktiv_icon

14:47 Uhr, 22.04.2015

"Und Stetigkeit von der Funktionenfolge ist ja nicht notwendig für Riemann-integrierbarkeit?"

Nein, stückweise stetigen Funktionen sind auch Riemann-integrierbar, wenn sie beschränkt sind.
Sonst passt es.

paulwu aktiv_icon

14:50 Uhr, 22.04.2015

Okay danke für die super Hilfe1 :-)

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