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Ringeigenschaften untersuchen -punktweise Addition
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Algebra, Beweis, Ring
 
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Hallo, ich habe diese folgende Aufgabe in meinem Klausurenvorbereitungsheft gefunden, aber ich komme einfach nicht weiter. Auch meine Lerngruppe ist leider etwas mit dieser Augabe überfordert und da ich auch keine Lösung habe, komme ich bei dieser Aufgabe nicht voran. Deswegen würde ich mich über eine Erklärung sehr freuen und dankbar sein! Sei eine nicht-leere Menge. Sei(P(X),∆,∩) ein kommutativer Ring. Ebenso ist (ZX2,✚,•) = (Abb(X,Z2),✚,•) ein Ring durch punktweise Addition und Multiplikation. Zeigen Sie, dass die natürliche Bijektion (I,supp) ∼= (Abbildung(X,Z2)) ein Ringisomorphismus ist. Potenzmenge; Restklassenring modulo ZX2 = Restklassenring modulo Ich bedanke mich schon einmal im Voraus, der mir bei dieser Aufgabe weiterhhelfen kann! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Der Isomorphismus sieht so aus: eine Teilmenge aus wird auf die Funktion abgebildet, wobei <=> und sonst . Also, . Man muss nur zeigen, dass bijektiv ist und Operationen beibehält. Biejektivität ist einfach. Bei den Operationen brauchen wir - das ist recht offensichtlich und . Das beweist man so: sei , dann gilt . Dann ist entweder in oder in . Im ersten Fall haben in aber nicht in => und , also . Im zweiten Fall liegt in aber nicht in => und => . Sei jetzt , dann gilt nicht in . Dann ist nicht in und nicht in . Wenn in liegt, muss es also auch in liegen und umgekehrt. Oder liegt nicht in beiden. Damit liegt in . Wenn in liegt, haben und , also (es wird modulo 2 gerechnet!) Wenn in liegt, haben und , also . Damit haben in allen Fällen gezeigt. |
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