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Rotationsvolumen einer Vase um die X-Achse

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Polynomfunktion, Polynomfunktion 2. Grades, Rotationsvolumen, x-Achse

TextilChemiker aktiv_icon

18:05 Uhr, 16.04.2013

Mache jetzt bald Matura (Abi) jedoch habe ich noch eine Prüfung vor mir. Schwerpunkt sind die Integrale

d . h

. Volumsintegral, Flächenintegral etc. komme nur sehr schlecht mit ihnen zu recht, und die nächste Aufgabe gab mir den Rest..

Ich habe gegrübelt und gegrübelt, jedoch kam nichts heraus..
Ich weiß, dass man mit Polynomfunktionen auf die Funktion kommen soll und damit dann mit der Formel V=pi*Integral der Grenzen

(f' (x^{2})) d x

Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.. Hilfsmittel wie MathCAD dürfen wir hier nicht mehr verwenden.

Bitte um Hilfe

glg TextilChemiker

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Tangente / Steigung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

18:41 Uhr, 16.04.2013

Stelle zuerst die Gleichung der Geraden von

P_{2}

nach

P_{3}

auf ! (Kontrolle:

y = - 0,6 \cdot x + 4,9)

.
Der Parabelbogen hat allgemein die Gleichung

y = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c,

damit die Ableitung

y' = 2 \cdot a \cdot x + b

. Bekannt ist

y (0) = 1

wegen

P_{1}, y (4) = 2,5

wegen

P_{2}

und

y' (4) = - 0,6

wegen des knickfreien Anschlusses. Dieses Gleichungssystem musst du lösen

(a = - 0,24376 | b = 1,35 | c = 1)

. Für die Integration jetzt die Parabel mit

V_{P} = π \cdot \int_{0}^{4} (- 0,24375 \cdot x^{2} + 1,35 \cdot x - 1) \cdot d x +

den von der Geraden gebildeten Kegelstumpf mit

V_{K} = \frac{π}{3} \cdot h \cdot (r_{1}^{2} + r_{1} \cdot r_{2} + r_{2}^{2}),

wobei

h = 2,5

ist,

r_{1} = 2,5

und

r_{2} = 1

.
Für die Näherung durch geradlinige Verbindungen bekommst du 3 Kegelstümpfe, der letzte davon steht schon oben. Für das Integral habe ich

75,8 d m^{3}

und für den Kegelstumpf

25,53 d m^{3},

zusammen also etwa

101

Liter (diese Vase ist eher ein Fass

!)

. Die Näherung müsste etwas kleiner ausfallen.

prodomo aktiv_icon

18:43 Uhr, 16.04.2013

Sorry, habe beim Integral das hoch 2 nicht mitgeschrieben, aber gerechnet.

TextilChemiker aktiv_icon

19:18 Uhr, 16.04.2013

\frac{y 2 - y 1}{x 2 - x 1} = - 0.6

y 1 - k \cdot x 1 = 4.9

das ist so schon richtig oder?

Und für was benötigt man hier eine Ableitung der Polynomfunktion?

1 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c d . h

c = 1

2,5 = a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 | : 4

1 = a \cdot 6 . 5^{2} + b \cdot 6.5

hier komm ich nicht mehr weiter stimmt das

: | : 6.5

dann kann man durch Substraktion a ausrechnen?

und noch eine Frage. wenn ich die Parabel ausrechne kommt bei mir eine komplett andere Zahl heraus..

5.027,

wenn ich nach der von dir beschriebenen Formel bzw. Ansatz es angehe.. das Volumen der Kegelform ist bei mir das gleiche, jedoch nicht bei der Parabel.

prodomo aktiv_icon

08:24 Uhr, 17.04.2013

Die Gerade hast du richtig berechnet, auch das

c = 1

. Dann hast du diese 1 aber bei

P_{2}

weggelassen, richtig muss es

a \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + 1 = 2,5

heißen. Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass die Gerade die Steigung

- 0,6

hat, der Parabelbogen also bei

P_{2}

ebenfalls diese Steigung haben muss (sonst gäbe es einen Knick). Die Steigung eines Funktionsgraphen wird durch die erste Ableitung

f'

beschrieben, die bei

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

die Form

f' (x) = 2 \cdot a \cdot x + b

hat. Also folgt

2 \cdot a \cdot 4 + b = - 0,6

. Damit kommst du auf meinen Vorschlag.

TextilChemiker aktiv_icon

09:55 Uhr, 17.04.2013

also ergibt sich:

- 0.6 = 2 \cdot a \cdot 4 + b

d . h

. um

b

zu eliminieren und a ausrechnen zu können:

- 0.6 = 2 \cdot a \cdot 4 + b | - b

a auf eine Seite bringen und somit a berechnen, anschließend a einsetzen und somit

b

berechnen. stimmt das so?

prodomo aktiv_icon

18:01 Uhr, 17.04.2013

Du musst beide Gleichungen betrachten, also

16 \cdot a + 4 \cdot b + 1 = 2,5

8 \cdot a + b = - 0,6

.
Zweite verdoppeln, von erster abziehen (oder zweite nach

b

auflösen ,einsetzen)

16 \cdot a + 4 \cdot b = 1,5

16 \cdot a + 2 \cdot b = - 1,2

2 \cdot b = 1,5 - (- 1,2)

2 \cdot b = 2,7

b = 1,35

TextilChemiker aktiv_icon

22:26 Uhr, 17.04.2013

vielen Dank für deine Hilfe prodomo :-))

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