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Satz vom Minimum und Maximum
Universität / Fachhochschule
Tags: Folgen, Grenzwert, Reelle Teilmengen, teilfolgen
 
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Hallo Der Beweis zum Satz vom Minimum und Maximum im Mehrdimensionalen bereit mir - wohl auf Grund von Wissenslücken - grosse Schwierigkeiten. Daher möchte ich ein paar Fragen dazu stellen, die trivial sein mögen, leider aber nicht für mich (ich bin kein Student, ich lerne Mathematik in meiner Freizeit bzw. nebenberuflich). Ich lege einen Gang zurück und betrachte eine Funktion f: D Zwischen zwei Beweisschritten lese ich: Für jede nicht leere Menge M gibt es eine Folge aus M, die gegen sup(M) konvergiert. Ich nehme an, dass man damit auf einen Satz verweist, der nun benötigt wird. Liege ich richtig? Ich würde gerne erfahren, wie dieser Satz heisst und wo ich einen Beweis dazu finde, denn im Web habe ich nichts gefunden. Ich würde auch gerne wissen, ob der uneingentliche sup(M) mit gemeint ist. Vielen Dank ... Sonusfaber Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hallo, wenn nach oben beschränkt ist, dann ist als kleinste obere Schranke eine normale reelle Zahl. Sollte der Passus, auf den du dich beziehst, sich auch auf nach oben unbeschränkte Mengen beziehen, wäre auch mitgemeint, was ich persönlich für nicht besonders sinnvoll halte. Ich würde dann sagen: das Supremum existiert nicht. Gruß ermanus |
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Hallo ermanus Ja, gemeint ist auch das unentgeltliche Supremum als Möglichkeit (es wird sich aber zeigen, dass das Supremum eine reelle Zahl ist). Existiert aber der Satz, den ich erwähnt habe: "Für jede nicht leere Menge M gibt es eine Folge aus M, die gegen sup(M) konvergiert"? Und wo kann ich einen Beweis dafür finden? Gruss Sonusfaber |
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Wenn mit eine Teilmenge von gemeint ist, dann gilt dieser Satz mit seiner Sonderbedeutung für den Fall . Wo man ihn finden kann, fällt mir auf die Schnelle nicht ein, daher werde ich ihn dir beweisen. Hab aber ein bisschen Geduld ... |
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Wow, das ist aber mega nett, vielen Dank! |
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Hier ein Beweis für endliches Supremum: Sei , also die kleinste obere Schranke von . Zu jedem gibt es ein mit Denn wäre für alle , dann wäre für alle , also wäre eine obere Schranke von , die kleiner ist als im Widerspruch zur Definition von . Offenbar konvergiert gegen wegen . |
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Vielen Dank, morgen schauen ich mir den Beweis an ... :-) |
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Hallo Ermanus Ich weiss nicht, ob du meine Frage beantwortet hast. Eher nicht, dünkt mich. Vielleicht habe ich meine Frage unklar formuliert. Ich versuche es nochmals. Gegeben sei eine abgeschlossene Teilmenge M der reellen Zahlen, zum Beispiel [2, 4] oder [a, b]. In einem Mathe-Buch hat man einen Beweisschritt zum Satz von Minimum und Maximum damit gerechtfertigt, dass in jeder beliebigen reellen Teilmenge, daher auch in [2, 4] oder [a, b], eine Folge existiert mit sup(M) als Grenzwert. Meine Frage ist, ob dies stimmt und, falls ja, warum (Beweis). Als Beispiel nehme ich die Teilmenge M = [2, 4] mit sup(M) = 4 und als Folge mit = 4 - , denn so sind beide Bedingungen erfüllt: 1) für alle n und 2) = 4 Nunn könnte ich Buchstaben nehmen statt Zahlen bzw. verallgemeinern und mich fragen, ob es in der reellen Teilmenge M = [a, b] mit a < b eine Folge mit dem Grenzwert b = sup(M) existiert. Welche Vorschrift müsste die Folge haben, damit beide Bedingungen erfüllt sind? Zum Beispiel = b - , denn damit ist gesichert, dass jedes Folgenglied in M liegt. Und der Grenzwert wäre wie erwünscht b = sup(M). Kann dies als Beweis durchgehen für abgeschlossene Intervalle in R? Für ein offenes reelles Intervall M = (a, b) würde obige Vorschrift eine der zwei Bedingungen nicht erfüllen, denn für n = 1 würde das Folgenglied = a ausserhalb von M liegen. Die Vorschrift = b - dürfte hingegen beide Bedingungen erfüllen für alle n, falls ich mich nicht täusche. Habe ich damit bewiesen, dass die Aussage auch für offene Intervalle gilt bzw. dass in jeder reellen Teilmenge M - egal, ob sie offen, abgeschlossen und so ist - eine Folge liegt, die gegen das Supremum konvergiert? Ich hoffe, keinen Blödsinn erzählt zu haben ... Vielen Dank und einen schönen Tag ... Paolo |
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"Meine Frage ist, ob dies stimmt und, falls ja, warum (Beweis)." Genau das habe ich dir allgemein bewiesen. Es geht doch darum, ob es eine solche Folge gibt, und nicht darum, wie eine solche Folge aussehen mag. Das Einzige, was ich vorausgesetzt habe, ist, dass die Menge nach oben beschränkt ist, so wie bei den von dir genannten Beispielen. |
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Hallo Paolo, nochmal zu deinen konkreten Beispielen. Die sind vollkommen OK und damit hast du die Aussage für offene und abgeschlossene beschränkte Intervalle bewiesen. Aber eine beliebige nach oben beschränkte Menge kann doch ganz "wild" aussehen. Um den allgemeinen Fall abzudecken, kannst du nur auf die Definition von zurückgreifen: die kleinste obere Schranke von . Gruß ermanus |
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OK ... :-) Magst du mir ein Beispiel einer nach oben beschränkten Menge M, die - wie du schreibst - ganz "wild" aussieht? Ich kann mir nichts ausdenken ... Gruss Sonusfaber |
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Hier ein solches : . Gruß ermanus |
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Ja, das stimmt, vielen Dank! |
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