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Satz von Minimum und Maximum - Warum in |R?

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Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Funktion, Grenzwert, Stetigkeit

Arsenix aktiv_icon

22:37 Uhr, 17.11.2016

Warum wird beim Satz von Minimum und Maximum

f : X \to ℝ

definiert, statt f als Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen zu definieren?

Die Beweisführung sollte doch auch ohne weiteres mit allgemeinen metrischen Räumen funktionieren:

f : X \to Y

, f stetig,

(X, d_{x})

(Y, d_{y})

metrische Räume,

K \subset X

mit

K

kompakt.

Da

K

kompakt ist, ist auch

f (K)

kompakt. Da

f (K)

kompakt ist und eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist, ist

f (K)

beschränkt und abgeschlossen.

Da

f (K)

beschränkt ist, sind inf und sup von

f (K)

Elemente aus Y, und da

f (K)

abgeschlossen ist, sind inf uns sup sogar Elemente aus

f (K)

, d.h. inf = min und sup = max, wodurch gezeigt ist, dass

f

auf

f (K)

Minimum und Maximum annimmt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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pwmeyer aktiv_icon

11:33 Uhr, 18.11.2016

Hallo,

erklär mal, was in einem metrischen Raum "beschränkt" bedeutet.

Viel wichtiger: Erklär mal, was in einem metrischen Raum Infimum oder Supremum bedeutet.

Gruß pwm

Arsenix aktiv_icon

17:20 Uhr, 19.11.2016

Ich sehe schon Mal ein, dass es möglicherweise einen ganzen Haufen maximaler Elemente gibt, wenn man z.B. in einem Vektorraum oder eine schwachsinnige Metrik wie die diskrete Metrik hat.

Beschränktheit im metrischen Raum

(X, d)

\exists x \in X \forall y \in X : y \leq x

Das Supremum wäre dementsprechend die kleinste (nicht unbedingt eindeutige) Schranke von

f (X)

pwmeyer aktiv_icon

17:24 Uhr, 19.11.2016

Hallo,

in einem metrischen Raum gibt es eine Metrik und sonst erst einmal nichts, insbesondere keine Total-Ordnung. "y<=x" macht keinen Sinn.

Gruß pwm

Arsenix aktiv_icon

18:00 Uhr, 19.11.2016

Hmm, dass stimmt. Ich müsste also einen arbiträren Vergleichspunkt wählen, wahrscheinlich 0 oder einen Funktionswert selbst, und die anderen bezüglich dieses Wertes vergleichen. Das lieferte dann zwei maximal entfernte Punkte, wäre aber nicht zwangsläufig zu irgend etwas nütze.

Danke fürs Aufklären meines Missverständnisses :-)

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