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Scheinbar einfacher Beweis

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Folgen und Reihen, Wurzeln

Felix00 aktiv_icon

14:17 Uhr, 05.12.2019

Ich habe schon etwas erfahrung mit Folgen gesammelt aber ich tue mich mit Abstrakten Aufgaben schwer.

Folgendes:
Sei

(a

Index

n),

n∈N , eine reelle Folge mit

(a

Index

n > 0)

für alle

n

∈

N

die gegen eine reelle Zahl

a > 0

konvergiert.

Zeige, dass dann gilt: (siehe Bild)

Die Folge ist ja soweit ganz normal:
Sie hat einen Grenzwert (sie konvergiert)

Ich soll jetzt Beweisen, dass die Wurzel der Funktion auch einen Grenzwert hat der die Wurzel des "original" Grenzwertes ist. Da die Zahl auf die konvergiert wird

> 0

ist, sehe ich eigentlich kein Problem mit den Wurzeln. Ich weiß nur nicht wie ich einen Bewei führen soll für etwas, dass so offensichtlich wahr ist.

Danke für eure Hinweise!

Hier das was es zu Beweisen gilt:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

14:57 Uhr, 05.12.2019

Hallo,

noch mal überdenken.

Felix00 aktiv_icon

16:27 Uhr, 05.12.2019

Sorry aber ich habe echt keinen Ansatz... Das was ich gefolgert habe ist also falsch?

anonymous

16:48 Uhr, 05.12.2019

Hallo,
nein, das "noch mal überdenken" bezog sich nur auf meinen (zwischenzeitlich hier wieder gelöschten) Gedankengang, da ich mir da nicht mehr sicher war, ob das überhaupt zu etwas brauchbarem führen kann ...

Hier noch mal nur z. Info.

<mit

b_{n} = a_{n}^{2}

und

b = a^{2}

angenommen es sei nicht so (Widerspruch):

l i m_{n \to \infty} \sqrt{b_{n}} \neq \sqrt{b} \Rightarrow l i m_{n \to \infty} a_{n} \neq a

und das ist falsch.>

Felix00 aktiv_icon

17:46 Uhr, 05.12.2019

Danke mein Freund.
Das hört sich perfekt an! :-)
Ein Wiederspruchsbeweis also. Hätte ich drauf kommen müssen...

ermanus aktiv_icon

17:57 Uhr, 05.12.2019

Hallo,
woher wisst ihr, dass

\sqrt{a_{n}}

überhaupt konvergiert?
Gruß ermanus

Felix00 aktiv_icon

18:02 Uhr, 05.12.2019

Muss sie denn nicht konvergieren, wenn sie quadriert auch konvergiert?

Also wenn wir uns das ganze so vorstellen, dass sie nach 9 konvergiert, muss dann rechnerisch nicht nie Wurzel der funktion nach Wurzel

9,

also 3 konvergieren?

Der ZAhlenwert unter der Wurzel bleibt ja der selbe... Oder bin ich dahingehend auf Glatteis?

ermanus aktiv_icon

18:06 Uhr, 05.12.2019

"Gefühlsmäßig" gebe ich dir vollkommen Recht.
Aber das Gefühl ist bei Folgen und schlimmer noch bei Reihen
manchmal trügerisch.
Es wäre sicher besser, man würde dies mit Hilfe z.B. der
Konvergenzdefinition begründen.

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 05.12.2019

Du müsstest dann also zeigen, dass zu jedem

ε > 0

ein

N = N (ε)

existiert, so dass aus

n \geq N

folgt:

∣ \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} ∣ < ε

.
Wenn du das gezeigt hast, dann hast du auch den Limeswert bewiesen.
Aber vielleicht hast du ein anderes strenges Argument für die Konvergenz ?!?

ermanus aktiv_icon

11:15 Uhr, 06.12.2019

Na, noch kein Ansatz für die Epsilontik?
Ein Tipp hierzu:
Sei

ε > 0

, dann ist auch

ε \sqrt{a} > 0

.
Da

(a_{n})

konvergiert, gibt es ein

N = N (ε)

, so dass

n \geq N \Rightarrow ∣ a_{n} - a ∣ < ε \sqrt{a}

gilt ...
Du kannst

∣ \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} ∣

mit

∣ \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} ∣

erweitern und ein bisschen herumbasteln, vielleicht klappt es ja ;-)

Wenn du die

ε

-Geschichte umgehen willst, kannst du ja auch
direkter so argumentieren:

∣ \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} ∣ = ∣ \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} ∣ \cdot \frac{∣ \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} ∣}{∣ \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} ∣} = \frac{∣ a_{n} - a ∣}{∣ \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} ∣} \leq \frac{∣ a_{n} - a ∣}{\sqrt{a}}

.
...

Felix00 aktiv_icon

12:46 Uhr, 06.12.2019

Danke alles gelöst!

Felix00 aktiv_icon

12:46 Uhr, 06.12.2019

Danke alles gelöst!

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