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Schubfachprinzip Beweis

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Tags: Beweis

 
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gerolsteiner

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20:20 Uhr, 15.12.2016

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Hallo,

ich brauche Hilfe um zwei Definitionen des Schubfachprinzipes zu beweisen.

1. Definition:
Sind N und R zwei endliche Mengen mit |N|=n>r=|R|,
und f:N→R eine Abbildung, dann gibt es ein a∈R mit |f-1(a)|≥2.


N= Objekte und R= Schubfächer

2.Definition: Verschärfung des Prinzips
Sind N und R zwei endliche Mengen mit |N|=n>r=|R|,
so existiert ein a∈R mit |f-1(a)|≥ceil(nr)
*(ceil abrundungsfunktion)



Erstmal habe ich eine Frage zu Definition 1.
Was genau bedeutet der Ausdruck |f-1(a)|≥2?
Das heißt doch einfach, dass jedes Element aus R auf mehr oder gleich 2 Elemente in N zeigt? Die Umkehrfunktion also :f-1:R→N
und diese Betragsstriche |f^-1(a)|,stehen für die Mächtigkeit oder?


Ich würde das mit einem Widerspruch beweisen:
Annahme: Es gibt ein a∈R mit |f-1(a)|≥2.
Beweis: Falls jedes der a Schubfächer maximal ein Objekt enthalten würde, gäbe es insgesamt nicht mehr als a Objekte. Für die Umkehrfunktion f-1 gilt in diesem Fall |f-1(a)|≤1 für alle a∈R
→ Widerspruch, da das Schubfachprinzip mehr Objekte als Schubfächer vorraussetzt.

Reicht das aus, oder fehlen da ein paar Zwischenschritte?
Und zur 2.Definition. Warum genau ist das eine "verschärfung" der 1.Defintion?


Danke.
Grüße


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