Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Sei dn := (2^n*n^3)/n! . Konvergiert die Folge dn?

Sei dn := (2^n*n^3)/n! . Konvergiert die Folge dn?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Fakultät, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
BennixXxAmber

BennixXxAmber aktiv_icon

21:30 Uhr, 08.11.2018

Antworten
Sei dn :=2nn3n!. Konvergiert die Folge (dn)n∈N?

Also ich denke es ist klar, dass die Folge gegen Null konvergiert, wenn man n gegen unendlich laufen lässt. n! wächst einfach viel schneller als 2nn3. Aber wie zeige bzw. beweise ich das? Das: 2nn3<n! kann man nicht allg. beweisen (beispielsweise mit vollständiger Induktion), da es nur fuer groessere n gilt. Oder gibt es auch einen Trick wie ich 2nn3n! umforme, sodass man auf anhieb erkennt, dass die Folge gegen Null konvergiert?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:17 Uhr, 08.11.2018

Antworten
Hallo,

wenn ihr schon Reihen und deren Konvergenzkriterien hattet, prüfe doch ob die zugehörige Reihe konvergiert. Dann muss die Folge automatisch gegen Null konvergieren.

Wenn nicht, versuche den Nachweis, dass an+1anq<1 (jedenfalls ab einem festen n).
Daraus folgte, dass 0ankqn. Letztere ist sicher eine Nullfolge!

Mfg Michael
Antwort
Bummerang

Bummerang

00:31 Uhr, 09.11.2018

Antworten
Hallo,

für alle n gilt:

(n+1)3=n3+3n2+3n+1

n3+3n3+3n3+n3=8n3

Deshalb gilt:

dn+1=2n+1(n+1)3(n+1)!22n8n3(n+1)n!=dn16n+1

Für alle n,n31 gilt damit

dn+1dn12

Und damit

dnd31(12)n-31

Definiere die Folge (an)n mit der expliziten Bildungsvorschrift:

an=d31(12)n-31

Damit hast Du eine Folge, die für alle n,n31 die gegebene Folge (dn) majorisiert und eine Nullfolge ist. Da die gegebene Folge nach unten durch Null beschränkt ist (alle Folgenglieder sind positiv), ist auch die gegebene Folge (dn) eine Nullfolge. Formal:

n,n31 gilt:

0<dnan=d31(12)n-31

und deshalb:

0limndnlimnd31(12)n-31

0limndnd31limn(12)n-31=0

limndn=0
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.