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Sei dn := (2^n*n^3)/n! . Konvergiert die Folge dn?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Fakultät, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

BennixXxAmber aktiv_icon

21:30 Uhr, 08.11.2018

Sei dn

:= \frac{2^{n} \cdot n^{3}}{n!}

. Konvergiert die Folge (dn)n∈N?

Also ich denke es ist klar, dass die Folge gegen Null konvergiert, wenn man

n

gegen unendlich laufen lässt.

n!

wächst einfach viel schneller als

2^{n} \cdot n^{3}

. Aber wie zeige bzw. beweise ich das? Das:

2^{n} \cdot n^{3} < n!

kann man nicht allg. beweisen (beispielsweise mit vollständiger Induktion), da es nur fuer groessere

n

gilt. Oder gibt es auch einen Trick wie ich

\frac{2^{n} \cdot n^{3}}{n!}

umforme, sodass man auf anhieb erkennt, dass die Folge gegen Null konvergiert?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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michaL aktiv_icon

22:17 Uhr, 08.11.2018

Hallo,

wenn ihr schon Reihen und deren Konvergenzkriterien hattet, prüfe doch ob die zugehörige Reihe konvergiert. Dann muss die Folge automatisch gegen Null konvergieren.

Wenn nicht, versuche den Nachweis, dass

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq q < 1

(jedenfalls ab einem festen

n

).
Daraus folgte, dass

0 \leq a_{n} \leq k \cdot q^{n}

. Letztere ist sicher eine Nullfolge!

Mfg Michael

Bummerang

00:31 Uhr, 09.11.2018

Hallo,

für alle

n \in ℕ

gilt:

{(n + 1)}^{3} = n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1

\leq n^{3} + 3 \cdot n^{3} + 3 \cdot n^{3} + n^{3} = 8 \cdot n^{3}

Deshalb gilt:

d_{n + 1} = \frac{2^{n + 1} \cdot {(n + 1)}^{3}}{(n + 1)!} \leq \frac{2 \cdot 2^{n} \cdot 8 \cdot n^{3}}{(n + 1) \cdot n!} = d_{n} \cdot \frac{16}{n + 1}

Für alle

n \in ℕ, n \geq 31

gilt damit

d_{n + 1} \leq d_{n} \cdot \frac{1}{2}

Und damit

d_{n} \leq d_{31} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 31}

Definiere die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

mit der expliziten Bildungsvorschrift:

a_{n} = d_{31} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 31}

Damit hast Du eine Folge, die für alle

n \in ℕ, n \geq 31

die gegebene Folge

(d_{n})

majorisiert und eine Nullfolge ist. Da die gegebene Folge nach unten durch Null beschränkt ist (alle Folgenglieder sind positiv), ist auch die gegebene Folge

(d_{n})

eine Nullfolge. Formal:

\forall n \in ℕ, n \geq 31

gilt:

0 < d_{n} \leq a_{n} = d_{31} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 31}

und deshalb:

0 \leq lim_{n \to \infty} d_{n} \leq lim_{n \to \infty} d_{31} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 31}

0 \leq lim_{n \to \infty} d_{n} \leq d_{31} \cdot lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 31} = 0

\Rightarrow lim_{n \to \infty} d_{n} = 0

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