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Sinus, Cosinus und Reihen

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Komplexe Analysis

Tags: Funktion, Funktionentheorie, Grenzwert, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

Sekorita aktiv_icon

13:49 Uhr, 12.10.2021

Hallo Leute,

ich muss dieses Semester die Analysis 2 widerholen. Leider hat der neue Dozent viele Inhalte in der Analysis 1 behandelt die ich noch nie gehört habe. Auf dem beigefügten Arbeitsblatt konnte ich mich durch Aufgabe 1-3 durchkämpfen jedoch scheitere ich bei Aufgabe 4. Ich habe keinen Ansatz wie ich auch die Umformungen in 4a und 4b kommen soll. Für Hilfen und Lösungen wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

michaL aktiv_icon

14:54 Uhr, 12.10.2021

Hallo,

4.a) erledigt man meiner Meinung nach mit vollständiger Induktion.
Bedenke, dass für

n = 1

gilt:

\frac{\sin (x)}{2 \sin (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{x}{2})}{2 \sin (\frac{x}{2})} \overset{Additionstheorem Sinus}{=} \frac{2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}{2 \sin (\frac{x}{2})} = \cos (\frac{x}{2})

(Das ist der Induktionsanfang!)

Um zur nächsten Formel zu gelangen, musst du ja ganz offensichtlich den Grenzübergang

n \to \infty

vollziehen. Schreibe dazu den Nenner(!) links als:

2^{n} \sin (\frac{x}{2^{n}}) = x \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2^{n}})}{\frac{x}{2^{n}}}

. Den Grenzwert

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

sollte man dafür schon kennen.

Kommst du damit mit a) erstmal klar?

Mfg Michael

Respon

00:10 Uhr, 13.10.2021

Sei

4 a)

schon bewiesen, also

\frac{sin (x)}{x} = lim_{n \to \infty} \prod_{k = 1}^{n} cos (\frac{x}{2^{k}})

Setze

x = \frac{π}{2}

\Rightarrow

\frac{2}{π} = lim_{n \to \infty} \prod_{k = 1}^{n} cos (\frac{π}{2^{k + 1}}) = cos (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{8}) \cdot cos (\frac{π}{16}) \cdot . .

.

Verwende trigonometrische Identitäten.

cos (2 \cdot α) = {cos}^{2} (α) - {sin}^{2} (α) = {cos}^{2} (α) - 1 + {cos}^{2} (α) = 2 \cdot {cos}^{2} (α) - 1

\Rightarrow

cos (α) = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (2 \cdot α)}

cos (\frac{π}{4}) = \sqrt{\frac{1}{2}}

cos (\frac{π}{8}) = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (\frac{π}{4})} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}

cos (\frac{π}{16}) = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (\frac{π}{8})} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}

usw.

Auf deinem Übungsblatt hat sich ev. in der letzten Zeile ein Druckfehler eingeschlichen, ( Siehe Vergleich mit "Wiki" )

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:51 Uhr, 13.10.2021

Ja, in der Wurzelkolonne ist zuletzt ein Fehler
und bei

a)

ist

x

nicht wohldefiniert.

Hier meine kleine Fleißarbeit zur Numero Quattro:

4) a)

(I V) \frac{sin (x)}{2^{n} \cdot sin (\frac{x}{2^{n}})} = \prod_{k = 1}^{n} cos (\frac{x}{2^{k}}) \forall n \in N, x \in R \ {t \cdot 2^{n} \cdot π : t \in Z}

(I A) n = 0 : \frac{sin (x)}{sin (x)} = 1 = \prod_{k = 1}^{0} cos (\frac{x}{2^{k}})

(leeres Produkt gleich

1),

n = 1 : \frac{sin (x)}{2 \cdot sin (\frac{x}{2})} = \prod_{k = 1}^{1} cos (\frac{x}{2^{k}}) \Leftrightarrow sin (x) = 2 \cdot sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2})

(I S) \frac{sin (x)}{2^{n + 1} \cdot sin (\frac{x}{2^{n + 1}})} = cos (\frac{x}{2^{n + 1}}) \cdot \frac{sin (x)}{2^{n} \cdot sin (\frac{x}{2^{n}})}

= cos (\frac{x}{2^{n + 1}}) \cdot \prod_{k = 1}^{n} cos (\frac{x}{2^{k}}) = \prod_{k = 1}^{n + 1} cos (\frac{x}{2^{k}})

.

Weiter gilt

\prod_{k = 1}^{n} cos (\frac{x}{2^{k}}) = \frac{sin (x)}{2^{n} \cdot sin (\frac{x}{2^{n}})} = \frac{sin (x)}{x \cdot \frac{sin (\frac{x}{2^{n}})}{\frac{x}{2^{n}}}} \to \frac{sin (x)}{x} (n \to \infty)

wegen

\frac{x}{2^{n}} \to 0 (n \to \infty)

und

\frac{sin (ξ)}{ξ} \to 1 (ξ \to 0)

b)

Mit

cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (x)}

findet man

\frac{2}{π} = \frac{sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}} = \prod_{k = 1}^{\infty} cos (\frac{π}{2^{k + 1}}) = cos (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{8}) \cdot cos (\frac{π}{16}) \cdot . .

= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (\frac{π}{4})} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (\frac{π}{8})} \cdot . .

= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos (\frac{π}{4})}} \cdot . .

= \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdot . .

HAL9000

07:46 Uhr, 13.10.2021

Mir persönlich gefällt ja die kompaktere Darstellung

\frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}

usw. dieser iterierten Wurzeln besser, ist auch ästhetisch ansprechender. ;-)

Sie basiert auf Iterationsgleichung

a_{k} = \sqrt{2 + a_{k - 1}}

für die Folge

a_{k} = 2 \cos (\frac{π}{2^{k + 1}})

Mathe45

09:25 Uhr, 13.10.2021

@Sekorita

All die Informationen der Vorposter findest du hier:
de.linkfang.org/wiki/Vietas_Produktdarstellung_der_Kreiszahl_Pi#Formel_von_Vieta

Sekorita aktiv_icon

09:43 Uhr, 13.10.2021

Hallo alle zusammen,

Danke für die viele freundliche Hilfe. Den Link habe ich vorhin auch gefunden und die Aufgabe damit auch verstanden. Danke nochmal und allen einen schönen Tag.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:15 Uhr, 13.10.2021

Compilation zu allen vier Aufgaben
mit Zeug aus der Mottenkiste.
Ohne Gewähr !