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Sinus, Cosinus und Reihen

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Tags: Funktion, Funktionentheorie, Grenzwert, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

 
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Sekorita

Sekorita aktiv_icon

13:49 Uhr, 12.10.2021

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Hallo Leute,

ich muss dieses Semester die Analysis 2 widerholen. Leider hat der neue Dozent viele Inhalte in der Analysis 1 behandelt die ich noch nie gehört habe. Auf dem beigefügten Arbeitsblatt konnte ich mich durch Aufgabe 1-3 durchkämpfen jedoch scheitere ich bei Aufgabe 4. Ich habe keinen Ansatz wie ich auch die Umformungen in 4a und 4b kommen soll. Für Hilfen und Lösungen wäre ich sehr dankbar.

SIN

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

14:54 Uhr, 12.10.2021

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Hallo,

4.a) erledigt man meiner Meinung nach mit vollständiger Induktion.
Bedenke, dass für n=1 gilt:
sin(x)2sin(x2)=sin(x2+x2)2sin(x2)=Additionstheorem Sinus2sin(x2)cos(x2)2sin(x2)=cos(x2)

(Das ist der Induktionsanfang!)

Um zur nächsten Formel zu gelangen, musst du ja ganz offensichtlich den Grenzübergang n vollziehen. Schreibe dazu den Nenner(!) links als:
2nsin(x2n)=xsin(x2n)x2n. Den Grenzwert limx0sin(x)x=1 sollte man dafür schon kennen.

Kommst du damit mit a) erstmal klar?

Mfg Michael
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Respon

Respon

00:10 Uhr, 13.10.2021

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Sei 4a) schon bewiesen, also
sin(x)x=limnk=1ncos(x2k)
Setze x=π2

2π=limnk=1ncos(π2k+1)=cos(π4)cos(π8)cos(π16)...

Verwende trigonometrische Identitäten.

cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=cos2(α)-1+cos2(α)=2cos2(α)-1

cos(α)=12+12cos(2α)

cos(π4)=12

cos(π8)=12+12cos(π4)=12+1212

cos(π16)=12+12cos(π8)=12+1212+1212

usw.

Auf deinem Übungsblatt hat sich ev. in der letzten Zeile ein Druckfehler eingeschlichen, ( Siehe Vergleich mit "Wiki" )

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Ernst Hubert Wilfred

Ernst Hubert Wilfred aktiv_icon

01:51 Uhr, 13.10.2021

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Ja, in der Wurzelkolonne ist zuletzt ein Fehler
und bei a) ist x nicht wohldefiniert.

Hier meine kleine Fleißarbeit zur Numero Quattro:

4)  a)

(IV)  sin(x)2nsin(x2n)=k=1ncos(x2k)    nN,xR\{t2nπ:tZ}.

(IA)  n=0:sin(x)sin(x)=1=k=10cos(x2k)   (leeres Produkt gleich 1),

  n=1:sin(x)2sin(x2)=k=11cos(x2k)    sin(x)=2sin(x2)cos(x2).

(IS)  sin(x)2n+1sin(x2n+1)=cos(x2n+1)sin(x)2nsin(x2n)

  =cos(x2n+1)k=1ncos(x2k)=k=1n+1cos(x2k).


Weiter gilt k=1ncos(x2k)=sin(x)2nsin(x2n)=sin(x)xsin(x2n)x2nsin(x)x  (n)

wegen x2n0  (n) und sin(ξ)ξ1  (ξ0).


b)

Mit cos(x2)=12+12cos(x) findet man

2π=sin(π2)π2=k=1cos(π2k+1)=cos(π4)cos(π8)cos(π16)...

=1212+12cos(π4)12+12cos(π8)...

=1212+121212+1212+12cos(π4)...

=1212+121212+1212+1212...
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

07:46 Uhr, 13.10.2021

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Mir persönlich gefällt ja die kompaktere Darstellung 122+2+2 usw. dieser iterierten Wurzeln besser, ist auch ästhetisch ansprechender. ;-)

Sie basiert auf Iterationsgleichung ak=2+ak-1 für die Folge ak=2cos(π2k+1).
Antwort
Mathe45

Mathe45

09:25 Uhr, 13.10.2021

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@Sekorita

All die Informationen der Vorposter findest du hier:
de.linkfang.org/wiki/Vietas_Produktdarstellung_der_Kreiszahl_Pi#Formel_von_Vieta
Frage beantwortet
Sekorita

Sekorita aktiv_icon

09:43 Uhr, 13.10.2021

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Hallo alle zusammen,

Danke für die viele freundliche Hilfe. Den Link habe ich vorhin auch gefunden und die Aufgabe damit auch verstanden. Danke nochmal und allen einen schönen Tag.
Antwort
Ernst Hubert Wilfred

Ernst Hubert Wilfred aktiv_icon

21:15 Uhr, 13.10.2021

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Compilation zu allen vier Aufgaben
mit Zeug aus der Mottenkiste.
Ohne Gewähr !

Übungsblatt_Ana2
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Antwort
Ernst Hubert Wilfred

Ernst Hubert Wilfred aktiv_icon

21:21 Uhr, 13.10.2021

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Vielleicht kann jemand noch eine Ungereimtheit beseitigen helfen:
Bei der 2)a) wird sich, glaube ich, nicht wirklich darum
gekümmert, dass 1-tan(x1)tan(x2)0 ist, oder ?

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Antwort
Mathe45

Mathe45

21:32 Uhr, 13.10.2021

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Die Aufgabe ist gelöst.
Also - warum ?
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Ernst Hubert Wilfred

Ernst Hubert Wilfred aktiv_icon

23:36 Uhr, 13.10.2021

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Meine Zweifel waren unberechtigt.
x1,x2 sind bei 2)a) doch wohldefiniert, denn

1=tan(x)tan(y)=sin(x)sin(y)cos(x)cos(y)

  cos(x)cos(y)=sin(x)sin(y)

  cos(x+y)+sin(x)sin(y)=sin(x)sin(y)

  cos(x+y)=0x+y=π2+kπ   mit   kZ.