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Sinusfolge auf Divergenz untersuchen.:(
Universität / Fachhochschule
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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Integration, Linear Abbildung, sinusfolge
 
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Hey, Leute! Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem... Sie lautet: Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N =(sin(n*(π\2)))n∈N divergiert. Hat (an)n∈N eine konvergente Teilfolge? Geben Sie ggf. eine solche Teilfolge an. Gegen welchen Grenzwert konvergiert sie? So, ich weiß schon mal, dass diese Folge durch 1 und beschränkt ist und ihre Werte sich im Intervall befinden. Wenn man natürliche Zahlen für einsetzt, dann erhält diese Folge immer nur die Werte und . Das heißt, sie ist eine Art "alternierende Folge", weil sie immer die drei Werte annimmt. Okay. Alternierend bedeutet aber auch divergent, oder? Ich überlege seit einer ganzen Weile, wie ich die Divergenz dieser Folge beweisen kann....Aber mir fällt nichts dazu ein, weil es sich um eine Sinusfolge handelt . könnte man durch einen Epsilonbeweis auf einen Widerspruch kommen? Und wenn ja, wie soll das mit Sinus gehen bzw. wie wäre die Vorgehensweise zum Beweisen der Divergenz dieser Sinusfolge? Und noch eine Frage: Wie kann man eine konvergente Teilfolge dieser Sinusfolge finden...? Kann mir da jemand vllt helfen? Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar! Lg Felix  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Einführung Funktionen Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hallo, bei einer konvergenten Folge ist jede Teilfolge ebenfalls konvergent und hat denselben Grenzwert wie die Gesamtfolge. Wenn du also bei einer Folge zwei Teilfolgen finden kannst, die verschiedene Grenzwerte haben, so ist die Folge divergent. In deinem Beispiel ist es doch sehr einfach, konvergente Teilfolgen zu finden, die gegen -1,0 oder +1 respektive konvergieren. Gruß ermanus P.S. übrigens: die Folge ist alternierend, aber nicht divergent. |
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Hey, danke für die super schnelle Antwort! Deine Antwort hat mir SEHR weitergeholfen! Ich habe aber vergessen, wie der Satz nochmal hieß... Die Sinusfolge hat also drei Teilfolgen, oder ? Weil sie ja entweder oder 0 annehmen kann. Die Teilfolge a mit Index pi\2) nimmt immer den Wert 0 an, also ist der Grenzwert dieser Teilfolge Null. Die Teilfolge a mit Index pi\2) nimmt immer den Wert 1 an, also ist der Grenzwert dieser Teilfolge 1. Die Teilfolge a mit Index pi\2) nimmt immer den Wert an, also ist der Grenzwert dieser Teilfolge . Alle drei Teilfolgen haben also verschiedene Grenzwerte. Und somit ist die gesamte Folge divergent. Kann man das so begründen ? Falls ja, ist die Schreibweise meiner Teilfolgen mathematisch korrekt? Ps: Der feine Unterschied zwischen divergent und alternierend fällt mir immer noch nicht leicht Freue mich auf deine Rückmeldung! Mfg Felix |
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Deine Begründung ist so OK! Zur Schreibweise deiner Teilfolgen: |
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Okay, ich danke dir! Mir hat einfach dieser Satz gefehlt... Noch eine letzte Frage: Muss man zusätzlich zeigen, dass die drei Folgen gegen oder konvergieren ? Also für mich scheint es schon so ziemlich offensichtlich. Und zur zweiten Frage bei meiner Aufgabe: "Hat an eine konvergente Teilfolge? Geben Sie ggf. eine solche Eine folge an. Gegen welchen Grenzwert konvergiert sie?" Da bin ich ein wenig verwirrt, ob damit nun die drei Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten gemeint ist oder meinen sie etwa eine Folge, die gegen den Grenzwert von an konvergiert, aber nicht existiert, weil an selber nicht konvergiert ? |
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Du darfst dich 100%-ig darauf verlassen ;-), dass eine konstante Folge - so wie deine Teilfolgen - natürlich (!) konvergiert. Das musst du nicht begründen. Dass eine konvergente Teilfolge hat, hast du doch hinreichend gezeigt, Ja, sie hat sogar drei wesentlich verschiedene konvergente Teilfolgen :-) Gruß ermanus |
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Okay, dann habe ich es verstanden!:-) Danke dir und einen schönen Abend noch! |
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