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Skalarprodukt Vektor senkrecht aufeinander

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, orthogonalität gesucht, Vektoren

Weeza aktiv_icon

13:12 Uhr, 22.07.2010

Hallo alle zusammen, ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Ich habe die Punkte

A (1 | 2 | 3), B (5 | 0 | - 1)

und

D (- 1 | 6 | - 1)

gegeben und soll nun nachweisen,dass Vektor AB und AD senkrecht aufeinander stehen.

Was ich weiß ist, dass gilt: wenn das Skalarprodukt beider Vektoren 0 ergibt, die beiden vektoren senkrecht zueinander sind.
Jedoch komme ich mit dme Skalarprodukt nicht wirklich klar, da ich noch nie damit gerechtnet habe und die sache mit dem

cos φ

dabei nicht so richtig verstehe.

Habe bereits die Koordinaten der beidne Vektoren berechnet:

AB

= (

Bx-Ax|By-Ay|Bz-Az

) = (4 | - 2 | - 2)

= (

Dx-Ax|Dy-Ay|Dz-Az

) = (- 2 | 4 | - 2)

Ist das so schonmal richtig?

weiter muss dann ja gelten:

a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot cos φ

Ich verstehe einfach nicht, wie ich auf Null kommen soll bzw. komme ich durch einsetzen auch nicht auf Null

Wäre um Hilfe sehr dankbar..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

BjBot aktiv_icon

13:34 Uhr, 22.07.2010

Die letzte Koordinate von AB und AD müsste -4 lauten.
Wie man das (Standard-)Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet kannst du z.B. hier sehen:

http//gfs.khmeyberg.de/Materialien/IIMathematik/Skalarprodukt.pdf

Yokozuna aktiv_icon

13:41 Uhr, 22.07.2010

Hallo!

Bei beiden Vektoren stimmt jeweils die z-Komponente nicht:

$\vec{A B} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix} \\ - 4 \end{matrix}), \vec{A D} = (\begin{matrix} \begin{matrix} - 2 \\ 4 \end{matrix} \\ - 4 \end{matrix})$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist:

$(\begin{matrix} a_{x} \\ \begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{y} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{z} \end{matrix} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{x} \\ \begin{matrix} b_{y} \\ b_{z} \end{matrix} \end{matrix}) = a_{x} \cdot b_{x} + a_{y} \cdot b_{y} + a_{z} \cdot b_{z}$

Wenn Du das mal für Deine beiden Vektoren ausrechnest, wirst Du sehen, daß dabei 0 herauskommt und das bedeutet, daß die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Weeza aktiv_icon

13:49 Uhr, 22.07.2010

Okay vielen vielen dank,..
ich habe die ganze zeit seltsame sachen ausprobiert und erst jetzt gemerkt, wie blöd mein fehler war.
In meiner aufgabenstellung hatte ich nämlich noch mehr punkte gegeben und bin daher vor allem bei der lezten komponente wohl in die falsche zeile gerutscht.
Ja scheint doch wohl ziemliche infach zus ein, nun kommts bei mir auch mit de 0 hin.

Aber wannbenutze ich denn jetzt welche form des Skalarproduktes?
Benötige ich die von mir schon anfangs angeführte Formel einfach nur zur berechnung des schnittwinkels?

Ja, jetzt wo ich dne Link näher angesehen habe, hat sich meine Anschluss-Frage auch benatwortet..
Danke euch nochmal..

BjBot aktiv_icon

14:04 Uhr, 22.07.2010

Genau, damit berechnet man dann eher Winkel zwischen Vektoren, Geraden oder Ebenen.
Hier weisst du ja schon, dass der Winkel 90° sein soll und damit wird cos(90°) dann auch zu null und es steht da im Endeffekt a*b=0, also genau die Bedingung für zwei senkrecht zueinander liegende Vektoren.

Weeza aktiv_icon

14:35 Uhr, 22.07.2010

Ich hätte noch eine weitere Problemaufgabe.
Ich soll nachweisen, dass der Punkt

S

lotrecht über dem Mittelpunkt

M

des Quadrates ABCD liegt, sprich eine Pyramide gebildet wird.

Dabei sind

A (1 | 2 | 3)

B (5 | 0 | - 1)

C (3 | 4 | - 5)

D (- 1 | 6 | - 1)

M (2 | 3 | - 1)

S (- 2 | - 1 | - 3)

Mein Ansatz war, dass ich zunächst die Strecken BS

= 7,35

und Bm

= 4,24

berechnet habe, wobei ich jeweils den Betrag der differenz gebildet habe also Bsp. BS

= | S - B |

Somit wollte ich mithilfe eines gewählten dreiecks ( BMS ) die Winkel berechnen und in der Ecke

M

90° BERECHNEN; das hat auch geklappt, für einen winkel bekam ich

54,77

udn für den andren

35.23

und das von

180

abgezogen ergibt

90 .

.

Scheint mir aber kein geeigneter lösungsweg zu sein da ich in diesem fall ja einfach schon von vornherein von einem

90^{}

WINKEL AUSGEGANGEN BIN, um mit hilfe von sinus und cosinus die winkel zu berechnen,wöfür ich ja eine Hypotenuse ( die ja rechtem winkel gegenüberliegt) brauchte.

So Puhh ich hoffe es ist einigermaßen verständlich, wie ich es mit meinem ansatz meinte.

Andere richtige lösungsansätze die man nehmen kann würden mich sehr interessieren..

BjBot aktiv_icon

14:45 Uhr, 22.07.2010

Man könnte zeigen, dass der Vektor MS ein Normalenvektor der Ebene durch die Punkte A,B und C ist.
Oder noch kürzer genügt es auch einfach das Skalarprodukt von MS und irgendeinem Vektor in der Grundflächenebene zu berechnen, denn wenn S wirklich lotrecht über M liegt, dann müssen diese beiden gerade erwähnten Vektoren auch senkrecht zueinander stehen (vorausgesetzt S liegt nicht in der Grundfläche aber das kann man denke ich voraussetzen)

Weeza aktiv_icon

15:00 Uhr, 22.07.2010

Dankeschön nochmal..
habs hinbekommen..dass ich nicht gleich aufs Skalarprodukt gekommen bin..
Manchmal sitzt man einfach total lang vor einer aufgabe, und rechnet einfach falsch drum herum..
Danke für den "hirnschups"

\cdot

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