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Startseite » Forum » Spiegelung am Einheitskreis
Spiegelung am Einheitskreis
Schüler
Tags: Komplexe Zahlen, Kreis, spiegelung
 
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Hallo, bekannterweise beschreibt die Abbildung die Spiegelung am Einheitskreis. und bezeichnet hier die konjugiert komplexe Zahl zu (ist im Bruch nur schwer zu erkennen). Man kann in Polarform schreiben, dann erkennt man leicht, dass auf aubgebildet wird. Eine durch den Ursprung gehende Gerade wird also immer auf sich abgebildet. Die Radien von Wert und Bild sind reziprok. Desweiteren wird der Einheitskreis auf sich selbst abgebildet. Insgesamt kann man sagen, dass Kreisinneres und Kreisäußeres vertauscht worden sind. Das Rechtfertigt dann ja auch den Term "Spiegelung am Einheitskreis". Mich interessieren nun zwei Fragen: Spiegelt die oben genannte Abbildung wirklich nur am Einheitskreis? Wenn ja: Wie sieht eine Abbildung aus, die an einem anderen Kreis spiegelt? (allgemeine Kreisgleichung im Komplexen mit und und in Man kann sich ja nun Fragen, worauf eine Gerade, die parallel zur Imaginärachse steht und nicht durch 0 geht, abgebildet wird. Die Gerade hat dann die Form Re(z)= . Im Anhang sieht man, wieso das Bild ein Kreis ist und wie der Kreis aussieht. Ich verstehe aber nicht, wieso man den Ansatz wählt. Die Umformungen sind mir dann wieder klar. Vielen Dank und Grüße, Sabine  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Hyperbeln Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Grundbegriffe der ebenen Geometrie Hyperbeln Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt |
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Wenn du einen anderen Kreis benutzen willst, schiebst du am besten das Koordinatensystem dorthin, indem du die Koordinaten des neuen Ursprungs (Kreismittelpunkt) von allen anderen abziehst. Danach kannst du wieder mit dem Einheitskreis rechnen und anschließend zurückschieben. Aber es ergeben sich nicht wirklich grundlegend neue Dinge. Der Beweis zu ist in typischer Vorlesungsmanier geschrieben - auch deine Reaktion. Der Autor weiß eben, wie das am besten geht. Warum sollte er dir helfen, auch darauf zu kommen ? Dafür hat man Pauker.... Es gibt aber einen Königsweg, den man nicht nur hier, sondern bei allen Abbildungen gehen kann und der keine Tricks erfordert. Löse die Gleichung nach und auf. Also und . Jetzt schreibe die Gleichung der Geraden mit diesem und . Eine Parallele zur imaginären Achse hat . Ein Kreis in mit dem Mittelpunkt heißt . Das entspricht . Jetzt setze in ein und und multipliziere aus. Forme dann auf die um. Es ergibt sich . Mit dem Satz "dieser Punkt gehört nicht zur Bild der Geraden"ist der Kreismittelpunkt gemeint, nicht der Ursprung (was man leicht herauslesen könnte) ! |
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Das hatte ich auch tatsächlich so verstanden, dass der Ursprung damit gemeint ist. Aber der Ursprung gehört auch nicht zum Bild der Geraden, er gehört ja noch nichtmal zur Geraden, weil dann nicht definiert wäre. Oder gehört er zur Geraden und wird nicht abgebildet? Naja, wenn ie Gerade durch 0 gehen würde, würde sie eh auf sich selber abgebildet werden. Was du und auch der Autor benutzt, ist die Tatsache, dass die gerade auf einen Kreis abgebildet wird. Das soll doch aber eigentlich gezeigt werden... Es wäre doch also viel schöner, aus der Geraden durch Einsetzen von etc. auf einen Kreis zu stoßen. Also meine Gerade hat die Form das ist klar. Jetzt setze ich und ein. Ich erhalte . DAS ist eine Kreisgleichung, juhu. Es ergibt sich der Mittelpunkt durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Kreisgleichung. Und für den Radius gilt . Dieses kann nun mit dem Betrag von vernachlässigt werden. Also . Stimmt meine Begründung zur Einf+hrung des Betrages? Wie würdest du es begründen? Nochmal zu der Methode des Autors: Ich habe doch richtig verstanden, dass der Autor beweisen möchte, dass das Bild der Geraden ein Kreis ist (mit den genannten Eigenschaften). Der Autor setzt doch aber von Beginn an den Mittelpunkt fest und berechnet dann nur den Radius. Inwieweit ist das also ein Beweis? EDIT: Durch dein eben erwähntes Prinzip habe ich grade gezeigt bekommen, dass jeder Kreis, der durch den Ursprung geht, auf eine Gerade, die natürlich nicht durch den Ursprung geht, abgebildet wird. Und jede Gerade (die nicht durch 0 läut) wird auf einen durch 0 gehenden Kreis abgebildet. Schon komisch diese Spiegelung am Kreis... Auf was wird eine gerade abgebildet, die den Einheitskreis nicht schneidet? Auf einen Kreis IM Einheitskreis, oder? Und auf was wir eine Tangente am Einheitskreis abgebildet? Auf einen Kreis der den Einheitskreis am "Tengentenpunkt" von innen berührt? |
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Ich habe die Kreisgleichung nur vorher erwähnt, damit man sie leichter erkennt. Herleiten kann man sie am leichtesten in Analogie zur Vektorrechnung mit . Im Komplexen ist dann . Mit ergibt sich sofort die Kreisgleichung. hat ja als Problempunkt den Punkt 0. ist im Reellen nicht definiert, aber im Komplexen ist ein ganz gewöhnlicher Punkt (Stichwort:Riemann-Kugel). Dort entspricht er dem Nordpol, aber die Kugel ist dort genau so rund wie sonst auch ! Insofern MUSS jeder Kreis und jede Gerade durch 0 auf eine Gerade durch 0 abgebildet werden, weil nur eine Gerade ins Unendliche läuft, aber kein Kreis. |
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Ups, also habe ich quasi das selbe gemacht, wie das was du gemacht hast? Naja immerhin kommen wir auf das selbe :-D) Was ist mit meinen übrigen Bemerkungen? Die Betragssache und die Überlegungen zu den Geraden? ist unendlich? Wenn man diesen Punkt im unendlichen hat, dann wird er auf 0 abgebildet? Und andersrum? Wenn also nun mein Kreis durch 0 geht, wird dieser Punkt auf den unendlich weiten Punkt abgebildet. Der Kreis geht also durch einen Punkt, der unendlich weit weg ist. Das würde bedeuten, dass der Radius unendlich groß ist und das hat eine Gerade zur Folge. Wow, das ist cool! Diese gerade die man rechnerisch erhält ist also eigentlich ein Kreis? |
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Ja, Geraden/Kreise werden wieder auf Geraden/Kreise abgebildet. |
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Okay, kannst du jetzt nochmal auf die offenen Fragen eingehen: Wie kommen die Beträge um das zu stande? Die Frage zur Methode des Autors in meinem 2. Beitrag Der Absatz darunter, quasi die Spezialfälle der Lage der Geraden (auch 2. Beitrag) Wieso unendlich ist. Oder ist es und ? Dann wäre es tatsächlich unendlich. Und was meinst du zu meinen anderen Gedanken, das die Geraden eigentlich unendlich große Kreise sind? Dann wollte ich rechnerisch zeigen, dass eine durch 0 gehende Gerade auf sich selbst abgebildet wird: Die Gerade hat die Form . Nun ist . Da die Gerade durch 0 geht, ist . . Es ist also eine Gerade. Wieso ist dies aber die gleiche Gerade wie ? Der Punkt 0 wird ja zunächst nicht abgebildet (lassen wir mal den Punkt im unendlichen weg.) Haben dann die Bilder der Abbildung ein "Loch"? Durch die Abbildung ist ja eine Def-Menge von ganz ohne die 0 gegeben. DIe Def.-Menge entspricht dann ja der Bildmenge hier (Zähler ist nie . Also kann doch der Punkt 0 als Bild garnicht angenommen werde. Wenn ich aber eine Gerade abbilde, wird dieser Punkt angenommen... Man sagt ja, dass der Bildkreis dann durch 0 verläuft. Komisch, oder? |
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ergibt unter Berücksichtigung, dass gelten muss. Für den Beweis muss der Autor nur zeigen, dass die Gleichung wahr ist. Den Mittelpunkt kann er geträumt haben (für Schüler schwer einsehbar,aber das wird dir in den Vorlesungen noch oft begegnen). Die Frage nach den Bildern allgemeiner Geraden mit kannst du leicht selbst überprüfen, wenn du mit und einsetzt. Dann nimmt die Gerade die Form 1-mi)- (1+mi) -2ib=0 an. Jetzt und einsetzen. Der Term verschwindet nicht, das ist das Zeichen für einen Kreis. Weiterhin enthält die Kreisgleichung nur Terme mit und kein "absolutes" komplexes Glied. Damit geht der Kreis zwingend durch 0. Vereinfacht kann man sagen, dass in der unendlich ferne Punkt ein ganz normaler Bildwert ist und auch einen ganz normalen Bildwert hat. Später zerlegt man eine Abbildung sogar in 3 Teilabbildungen, bei denen genau diese Eigenschaft genutzt wird. So kannst du auch jede Gerade als Kreis mit auffassen und so tun, als schlössen sich ihre "Enden" wieder zusammen. Insofern sind auch Nullstellen des Nenners keine "Lücken" wie in . |
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Hi, okay okay okay gleich mehr zu im Zusammenhang mit 6. Noch nicht klar. Wieso sind die geraden und identisch? Lassen wir bitte erstmal diesen Punkt im Unendlichen raus. Was passiert dann? Dann stimmen Bildmenge und Definitionsmenge von überein. Sie enthalten nicht. Für wäre der Nenner 0 und für müsste der Zähler 0 sein. Beides geht nicht bzw. ist nicht definiert. Wenn ich jetzt einen Kreis betrachte, der durch 0 geht, wird er ja auf eine Gerade abgebildet.Es gibt aber einen Punkt (den Ursprung) auf dem Kreis, der nicht abgebildet wird, denn er gehört nicht zur Def.-Menge der Abbildung. Wie sieht dann die Gerade (das Bild des Kreises) aus? Hat sie eine Lücke oder nicht? Eine neue Frage: Auf meinen Kopien steht, dass eine parallele zur Re-Achse (Im(z)=0) auf einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius abgebildet wird. Gezeigt wurde dies nicht, ich hab es dann eben mal nachgerechnet und komme auf den selben Mittelpunkt, erhalte aber als Radius was in meinen Augen auch mehr Sinn macht, Begründung identisch wie bei den Beträgen von Re(z)=0. Stimmt das denn? Du hast was von einem absoluten komplexen Glied geschrieben, es ist aber ein absolutes reelles Glied, was 0 ist, oder? Wenn nicht, weiß ich nicht, was du meinst.. |
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Zu wenn du und tauschst, bleibt die Gleichung doch erhalten. zu Betrag beim Radius muss sogar sein. Mir scheint, die Rolle von ist noch nicht klar. Riemann zeigte, dass im Körper diesem Punkt keine Sonderrolle mehr zukommt, indem er die komplexe Ebene auf eine Kugeloberfläche abbildete. Dazu benutzte er . Jedem Punkt der komplexen Ebene wird jetzt ein Punkt der Kugeloberfläche derart zugeordnet, dass die Gerade vom Nordpol zu diesem Punkt gezogen wird und ihr Durchstoßpunkt durch die Kugel berechnet wird. Mit dem Strahlensatz kann man dann leicht die Zuordnung berechnen. Wichtig ist dabei, dass jeder Punkt, der unendlich weit nach außen rückt, dem Nordpol zugeordnet wird, weil die Verbindung als Grenzlage die Tangente im Nordpol hat. Aber der Nordpol ist kein besonderer Kugelpunkt, insbesondere verhält er sich gegenüber Drehungen der Kugel um beliebige Achsen oder Spiegelungen an Ebenen durch den Mittelpunkt wie jeder andere Punkt auch. Insofern kann er auch immer als Urbild oder Bild bei Abbildungen auftauchen. Du kannst die Abbildungen von nach auch als Bewegungen der Kugel interpretieren, . als Spiegelungen an der Äquatorebene. |
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Ergänzung: mit "absolutes komplexes Glied" meinte ich einen Term ohne bzw. bzw. oder . Bei hat man ähnlich wie bei der Vektorrechnung keine genormte Form einer Geraden - oder Kreisgleichung, weil beide auf 0 enden, damit sind alle Vielfachen auch richtig, ggf. auch komplexe Vielfache. Damit wird dann der absolute Term (so heißt er ja . bei Polynomen) ggf. auch komplex. Tritt ein solcher in einer Kreisgleichung nicht auf, so geht der Kreis durch den Ursprung, weil sich und hinweggehoben haben. |
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Aber wieso sollte ich und tauschen? Also die Kreisgleichung im komplexen lautet mit und . Das kann man durch quadrieren dann umformen zu . Dein "absolutes komplexes Glied" ist das meinte ich ja auch. Was ich nur meinte ist, dass das Gleid ja reell ist ist reell und auch), deswegen sprach ich von einem "absoluten reellen Glied". Das mit dem Punkt im unendlichen finde ich noch ziemlich abstrakt. Wo liegt dieser Punkt im unendlichen? Im 1. Quadranten, im ? Das wird man sicher so nicht sagen können. Und welche Gründe sprechen dafür, ihn einzuführen, welche dagegen? Kann man meine Frage unter . Absatz nicht beantworten? Ist es so eine Frage wie in der Quantenphysik, die man sich "nicht stellen darf"? :-P) Du meintest in deinem ersten Beitrag noch, dass der Kreismittelpunkt gemeint war. Wieso ist dieser nicht Bild der Geraden? |
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Wenn es nur darum geht, aus der Gleichung eines Objektes dessen Typ zu bestimmen, ist doch der Name der Variablen egal. Mit und ist es eine Gerade in der z-Ebene, mit und eine in der w-Ebene. Wichtig ist, dass es eine GERADENGLEICHUNG ist. Die Leistung von Riemann bestand gerade darin, dass der "Quadrant" bzw. die Richtung, in der die Gerade vom läuft, völlig egal ist. Das relle und wie auch jeder unendlich ferne Punkt in jeder Richtung haben alle den Nordpol der Riemann - Kugel als zugeordneten Punkt, das ist ja der Witz an der Sache. |
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Zu deinem ersten Absatz: Nein, es ist ja schon wichtig, dass es identische Geraden sind. Ich war aber wohl nicht ganz bei der sache... und haben ja eine identische Menge als Grundlage, nämlich ohne 0. Wenn man diesen unendlich fernen Punkt mit einbezieht, dann sogar ganz C. (Dieser Punkt gehört dann doch zu oder?) Und dieser Wert ist dann ja fest. So was gibt es noch.. Meine beiden letzten Absätze sind noch offen. Lieben Gruß! :-) |
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Interesse an einer Antwort besteht immer noch :-) |
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Der Ursprung wird, wenn er auf dem Kreis liegt, ganz normal abgebildet, und zwar auf den unendlich fernen Punkt. Begriffe wie Definitionsmenge sind hier ebenso unsinnig wie Lücken .ä. Das mag etwas gewöhnungsbedürftig sein, macht aber vieles einfacher. |
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Okay ich sehe schon, muss mich wohl einfach an dieses unendlich fernen Punkt gewöhnen. Ist ja aber auch sinnvoll, diesen einzuführen. |
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Danke für die Antwort :-) |
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