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Standard-Cauchy-Verteilung und Erwartungswert

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, kein Erwartungswert, Standard-Cauchy-Verteilung

+ PARANOIA +

00:33 Uhr, 14.10.2010

Bei folgender Aufgabe habe ich Schwierigkeiten:

Begründe: Für die CAUCHY-Verteilung, deren Dichtefunktion durch

f (x) = \frac{1}{π \cdot (1 + x^{2})}

bestimmt ist, lässt sich der Erwartungswert nicht berechnen.

Also ich hatte erstmal keine Ahnung, also habe ich einen Blick ins Internet geworfen und bin fündig geworden: Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung existieren bei einer Cauchy-Verteilung nicht, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind.
Das habe ich zwar verstanden, aber der mathematische Beweis blieb dem noch schuldig, den ich wo anders gefunden habe und nicht verstanden habe:

Der Erwartungswert einer Cauchy-Verteilung existiert nicht (und ist insbesondere nicht Null), denn

\int_{- \infty}^{\infty} | x | \cdot f (x) d x = \frac{2}{π} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x \geq \frac{2}{π} \cdot \int_{1}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x \geq \frac{1}{π} \cdot \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x = \infty

wobei wir für

x \geq 1

ausgenutzt haben, dass

\frac{1}{1 + x^{2}} \geq \frac{1}{2 x^{2}}

.
Also ist

E (| X |) = \infty

Warum steht vor dem Integral

\frac{2}{π}

bzw.

\frac{1}{π}

? Wie wurde das umgeformt? Warum wird

\frac{x}{1 + x^{2}}

\frac{1}{x}

? Kann mir jemand den Beweis erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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03:46 Uhr, 14.10.2010

Man sagt bei stetigen Verteilungen "der Erwartungswert

E X

existiert", wenn

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ x ∣ f (x) d x < \infty

Bei der Lösung, die du im Netz gefunden hast, wird mittels einer Abschätzung nach unten gezeigt, dass dies nicht der Fall ist. Im folgenden eine Lösung ohne Abschätzungen:

\begin{array}{rcl} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ x ∣ \frac{1}{π (1 + x^{2})} d x & = & 2 \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{π (1 + x^{2})} d x & (S y m m e t r i e) \\ = & \frac{1}{π} \int_{0}^{\infty} \frac{2 x}{1 + x^{2}} & (I n t e g r a l e i g e n s c h a f t e n) \\ = & \frac{1}{π} l n (1 + x^{2}) ∣_{0}^{\infty} & (\int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x = l n (1 + x^{2})) \\ = & \frac{1}{π} (\infty - 0) = \infty \end{array}

Somit existiert der Erwartungswert nicht.

einige Worte zur Symmetrie:
Der Ansatz ist

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ x ∣ f (x) d x = \int_{- \infty}^{0} ∣ x ∣ f (x) d x + \int_{0}^{\infty} ∣ x ∣ f (x) d x

Unter Ausnutzung der Betragsdefinition, der Symmetrie von

f

, Substitution und Vertauschung der Integrationsgrenzen folgt, dass

\int_{- \infty}^{0} ∣ x ∣ f (x) d x = \int_{0}^{\infty} x f (x) d x

gilt.

Desweiteren nutze ich, wie auch deine Lösung aus dem Netz, die Tatsache, dass konstante Faktoren beim integrieren unverändert bleiben.

\int c f (x) d x = c \int f (x) d x

, falls

c

konstant.

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