Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen z

Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen z

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, Stetigkeit

agricola7 aktiv_icon

19:39 Uhr, 15.05.2019

Hallo,

ich versuche gerade herauszufinden wie ich am besten die stetige Fortsetzbarkeit von einer Funktion mit zwei (bzw. mehreren Variablen) zeigen bzw. widerlegen kann.

für

f (x, y) = \frac{2 x^{2} y^{2}}{x^{4} + y^{4}}

lässt sich dabei relativ schnell zeigen, dass dies in

(0,0)

nicht möglich ist:

Nähern wir uns entlang der x-Achse an so erhalten wir:

lim_{x \to 0} f (x,0) = lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot 0}{x^{4}} = 0

Nähern wir uns jedoch entlang

x = y

an so erhalten wir:

lim_{x \to 0} f (x, x) = lim_{x \to 0} \frac{2 x^{2} \cdot x^{2}}{x^{4} + x^{4}} = 1

Womit die Stetigkeit widerlegt wäre.

Aber wie mache ich das bei Funktionen die tatsächlich stetig sind.

Wie

z . B

g (x, y) = \frac{2 x^{4} y^{4}}{x^{4} + y^{4}}

für

(0,0)

da muss ich das ganze ja für alle Annäherungsmöglichkeiten an

(0,0)

zeigen

LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

agricola7 aktiv_icon

20:07 Uhr, 15.05.2019

Bzw. wäre das alt eine mögliche Begründung,

ich wandle meine kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten mit Radius

r

um und lasse dann

r

gegen 0 gehen:

Also

lim_{r \to 0} f (r, φ) = \frac{2 \cdot (r \cdot {cos (φ)}^{4}) \cdot (r \cdot {sin (φ)}^{4})}{(r \cdot {cos (φ)}^{4}) + (r \cdot {cos (φ)}^{4})}

durch kürzen erhalte ich

\frac{2 \cdot r^{4} \cdot ({cos (φ)}^{4} \cdot {cos (φ)}^{4})}{{cos (φ)}^{4} + {cos (φ)}^{4}}

was ich durch

(2 \cdot r^{4} \cdot ({cos (φ)}^{4} \cdot {cos (φ)}^{4}))

nach obenhin abschätzen kann und dass konvergiert für

r

gegen 0 gegen 0.

Daher ist die Funktion in

(0,0)

stetig fortsetzbar.

Währe das eine korrekte Begründung?

LG

agricola7 aktiv_icon

20:46 Uhr, 15.05.2019

Möchte ich jedoch die stetige Fortsetzbarkeit meiner im ersten Beitrag behandelten Gleichung in

(0,0)

auf die eben verwendete Weise untersuchen, so komme ich auf:

lim_{r \to 0} f (r, φ) = \frac{2 \cdot ({(r \cdot cos (φ))}^{2}) \cdot ({(r \cdot sin (φ))}^{2})}{({(r \cdot cos (φ))}^{4} + {(r \cdot sin (φ))}^{4})}

was sich zu

\frac{2}{{cos (φ)}^{4} \cdot {sin (φ)}^{4}}

vereinfachen lässt. Dieser Ausdruck ist unabhängig von

r

und kann daher in

(0,0)

nicht eindeutig fortgesetzt werden

Wäre es also möglich zu verallgemeinern:

Wandle ich meine kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten um und lässt sich durch umformen und abschätzen zeigen, dass der Term unabhängig von

r

ist, so lässt sich die Funktion nicht stetig fortsetzen?

Ist diese Aussage zu gewagt oder liege ich hier richtig?

LG

ermanus aktiv_icon

11:24 Uhr, 16.05.2019

Hallo,
die von dir verwendeten

x = r \cos (φ), y = r \sin (φ)

sind für jedes einzelne

φ

nicht unabhängig von einander.
Wenn du bei einem jeweils festen

φ

das

r

gegen 0 gehen lässt,
bewegst du dich auf einer Geraden auf

(0, 0)

zu. Was aber, wenn sich dein
Paar

(x, y)

in einer Spirale oder auf einer Parabel

y = x^{2}

dem Ursprung nähert?
Deine Funktion ist nicht immer radialsymmetrisch.

Der Nachweis einer vorhandenen Stetigkeit ist für jede betrachtete
Funktion individuell.
In dem von dir genannten Fall kannst du folgendermaßen abschätzen:

\frac{2 x^{4} y^{4}}{x^{4} + y^{4}} = x^{2} y^{2} \frac{2 x^{2} y^{2}}{x^{4} + y^{4}} \leq x^{2} y^{2} \frac{x^{4} + y^{4}}{x^{4} + y^{4}} = x^{2} y^{2} \to 0

für

(x, y) \to (0, 0)

.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

12:00 Uhr, 16.05.2019

Hallo,
ich nochmal: wo ist denn in deinem Beitrag 20:07 von gestern plötzlich
der eine Sinus geblieben? Und nach dem Kürzen ist der andere auch noch verschwunden?
Deine dann folgende Abschätzung ist leider auch nicht korrekt.
Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1469840

1469776

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?