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Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen z

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, Stetigkeit

 
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agricola7

agricola7 aktiv_icon

19:39 Uhr, 15.05.2019

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Hallo,

ich versuche gerade herauszufinden wie ich am besten die stetige Fortsetzbarkeit von einer Funktion mit zwei (bzw. mehreren Variablen) zeigen bzw. widerlegen kann.

für f(x,y)=2x2y2x4+y4 lässt sich dabei relativ schnell zeigen, dass dies in (0,0) nicht möglich ist:

Nähern wir uns entlang der x-Achse an so erhalten wir:

limx0f(x,0)=limx02x20x4=0

Nähern wir uns jedoch entlang x=y an so erhalten wir:

limx0f(x,x)=limx02x2x2x4+x4=1

Womit die Stetigkeit widerlegt wäre.

Aber wie mache ich das bei Funktionen die tatsächlich stetig sind.

Wie z.B. g(x,y)=2x4y4x4+y4 für (0,0)

da muss ich das ganze ja für alle Annäherungsmöglichkeiten an (0,0) zeigen

LG


Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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agricola7

agricola7 aktiv_icon

20:07 Uhr, 15.05.2019

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Bzw. wäre das alt eine mögliche Begründung,

ich wandle meine kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten mit Radius r um und lasse dann r gegen 0 gehen:

Also limr0f(r,φ)=2(rcos(φ)4)(rsin(φ)4)(rcos(φ)4)+(rcos(φ)4) durch kürzen erhalte ich 2r4(cos(φ)4cos(φ)4)cos(φ)4+cos(φ)4 was ich durch (2r4(cos(φ)4cos(φ)4)) nach obenhin abschätzen kann und dass konvergiert für r gegen 0 gegen 0.

Daher ist die Funktion in (0,0) stetig fortsetzbar.

Währe das eine korrekte Begründung?

LG
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agricola7

agricola7 aktiv_icon

20:46 Uhr, 15.05.2019

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Möchte ich jedoch die stetige Fortsetzbarkeit meiner im ersten Beitrag behandelten Gleichung in (0,0) auf die eben verwendete Weise untersuchen, so komme ich auf:

limr0f(r,φ)=2((rcos(φ))2)((rsin(φ))2)((rcos(φ))4+(rsin(φ))4) was sich zu 2cos(φ)4sin(φ)4 vereinfachen lässt. Dieser Ausdruck ist unabhängig von r und kann daher in (0,0) nicht eindeutig fortgesetzt werden


Wäre es also möglich zu verallgemeinern:

Wandle ich meine kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten um und lässt sich durch umformen und abschätzen zeigen, dass der Term unabhängig von r ist, so lässt sich die Funktion nicht stetig fortsetzen?

Ist diese Aussage zu gewagt oder liege ich hier richtig?

LG
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ermanus

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11:24 Uhr, 16.05.2019

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Hallo,
die von dir verwendeten x=rcos(φ),y=rsin(φ)
sind für jedes einzelne φ nicht unabhängig von einander.
Wenn du bei einem jeweils festen φ das r gegen 0 gehen lässt,
bewegst du dich auf einer Geraden auf (0,0) zu. Was aber, wenn sich dein
Paar (x,y) in einer Spirale oder auf einer Parabel y=x2
dem Ursprung nähert?
Deine Funktion ist nicht immer radialsymmetrisch.

Der Nachweis einer vorhandenen Stetigkeit ist für jede betrachtete
Funktion individuell.
In dem von dir genannten Fall kannst du folgendermaßen abschätzen:

2x4y4x4+y4=x2y22x2y2x4+y4x2y2x4+y4x4+y4=x2y20 für (x,y)(0,0).

Gruß ermanus
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ermanus

ermanus aktiv_icon

12:00 Uhr, 16.05.2019

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Hallo,
ich nochmal: wo ist denn in deinem Beitrag 20:07 von gestern plötzlich
der eine Sinus geblieben? Und nach dem Kürzen ist der andere auch noch verschwunden?
Deine dann folgende Abschätzung ist leider auch nicht korrekt.
Gruß ermanus
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