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Stetigkeit von 1/(1+x) mit Epsilon-Delta

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Beweis, epsilon-delta-kriterium, Stetigkeit

binglebob aktiv_icon

18:38 Uhr, 07.01.2017

Hallo, ich beschäftige mich zurzeit mit Stetigkeit und versuche mittels Epsilon-Delta-Kriterium die Stetig keit von

f (x) = \frac{1}{1 + x}

an der Stelle 1 zu beweisen. Mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:

ε > 0, ε > | f (x) - f (1) |, δ > 0

und

δ > | x - 1 |

| f (x) - f (1) | = | \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{2} | = | \frac{2}{2 + 2 x} - \frac{1 + x}{2 + 2 x} | = | \frac{2 - 1 - x}{2 + 2 x} | = | \frac{- x + 1}{2 + 2 x} |

= | \frac{- 1 \cdot (x - 1)}{2 + 2 x} | = | \frac{x - 1}{- 1 \cdot (2 x + 2)} | = \frac{| x - 1 |}{| - 2 - 2 x |}

Abschätzung mit

δ :

\frac{| x - 1 |}{| - 2 - 2 x |} < \frac{δ}{| - 2 - 2 x |}

wobei

| δ | = δ

δ > 0

Somit ist

\frac{δ}{| - 2 - 2 x |} < δ

| f (x) - f (1) | = \frac{| x - 1 |}{| - 2 - 2 x |}

ist

| f (x) - f (1) | < | x - 1 |

und ich setze

δ = ε

. Damit wäre die Funktion stetig.

Kann man das so machen?
Danke im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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pwmeyer aktiv_icon

19:20 Uhr, 07.01.2017

Hallo,

Du scheinst zu benutzen, dass

\frac{1}{| 2 + 2 \cdot x |} < 1

ist. Du hast es aber nicht begründet.

Gruß pwm

binglebob aktiv_icon

21:33 Uhr, 07.01.2017

Wie ich gerade sehe ist der Term

\frac{1}{| 2 x + 2 |} < 1

nicht immer gültig,

z

.B.für

x = 0,32

.
Darum will ich einen anderen Ansatz versuchen. statt

| - x + 1 |

werde ich

| x - 1 |

in meinem Term schreiben weil mir im Nachhinein aufgefallen ist, dass die gleich sind.

\frac{| - x + 1 |}{| 2 x + 2 |} = \frac{| x - 1 |}{| 2 x + 2 |}

| x - 1 | < δ,

gilt

\frac{| x - 1 |}{| 2 x + 2 |} < \frac{δ}{| 2 x + 2 |}

Da aber

\frac{| x - 1 |}{| 2 x + 2 |}

nur eine Umformung von

| f (x) - f (1) |

ist, muss auch

\frac{| x - 1 |}{| 2 x + 2 |} < ε

gelten.

Die Frage ist dann nur, wie ich den

δ

-Term mit dem

ε

in Verbindung bringe.
Ich setze

\frac{δ}{| 2 x + 2 |} < ε,

denn sonst gäbe es eventuell ein

\frac{| x - 1 |}{| 2 x + 2 |} > ε

aber

< \frac{δ}{| 2 x + 2 |},

wenn ich

\frac{δ}{| 2 x + 2 |} > ε

wähle.

\frac{δ}{| 2 x + 2 |} < ε

kann ich umformen zu

δ < | 2 x + 2 | \cdot ε

ε

frei wählbar ist kann ich mit der Beziehung immer ein passendes

δ

wählen.
Stimmt das so mit der Wahl von

ε

? Ich bin da leider noch unsicher.

ledum aktiv_icon

01:46 Uhr, 08.01.2017

Hallo
nein

ε

ist nicht frei wählbar! sondern zu jedem

ε

musst du ein

δ

angeben!
das übliche Vorgehen ist, du musst ein vorläufiges

δ

wählen etwa

δ_{0} = 0,1

(oder

0,5 =

dann gilt 1-0,1<x<1+0,1und deshalb

2 - 2 \cdot 0,1 < 2 x + 2 < 2 + 2 \cdot 0,1

dein Nenner ist also

> 1,8

und damit hast du

\frac{| x - 1 |}{| 2 x + 2 |} < \frac{| x - 1 |}{1,8}

wenn du also ein neues

δ_{1} = 1,8 \cdot ε

wählst bist du fertig , und musst nur noch schreiben

δ = min (δ_{1}

und

δ_{2})

Dass du einvorläufiges

δ

erst mal nehmen musst ist in vielen Stetigkeitsbeweisen nötig.
Gruß ledum

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