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Stetigkeit von R^2 -> R

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, Stetigkeit

ray11 aktiv_icon

18:18 Uhr, 04.04.2019

Hi, bei mir gibt es einige Unklarheiten bezüglich Stetigkeit im Mehrdimensionalen. Unstetigkeit mit Hilfe von Folgen zu zeigen klappt ganz gut. Aber Stetigkeit zu zeigen nicht so wirklich. Vielleicht kann mir wer helfen:

Untersuchen folgender Funktionen

f : ℝ^{2} \to ℝ

auf Stetigkeit:
(a)

f : x \mapsto \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

für

x \neq 0, 0

für

x = 0

(b)

f : x \mapsto \frac{2 (x - 5) {(y - 3)}^{4}}{{(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{8}}

für

x \neq (5,3), 0

für

x = (5,3)

(c)

f : x \mapsto x \cdot sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})

für

x \neq 0, 0

für

x = 0

(d)

f : x \mapsto \frac{x^{2} {sin (y)}^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}}

für

x \neq 0, 0

für

x = 0

Bei a und

c

habe ich folgendes:

(a)

Für eine Folge

{(x_{n})}_{n \in ℕ} = (\frac{1}{n},0)

ist

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = 1 \neq 0 \Rightarrow

nicht stetig in

(0,0)

(c)

Für eine Folge

{(x_{n})}_{n \in ℕ} = (\frac{1}{n} \frac{,1}{n})

ist

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) \neq 0 \Rightarrow

nicht stetig in

(0,0)

. (Hier weiß ich nicht was der Grenzwert genau ist aber

sin (\frac{1}{\frac{2}{n^{2}}})

ist jedenfalls nicht 0. Würde das so passen?

Bei

b

und

d

habe ich keine Ahnung. Da ich keine Beispiele zum widerlegen gefunden habe, vermute ich, dass diese stetig sind. Mir ist klar dass ich das mit Epsilon-delta machen muss, aber ich bekomme es nicht hin.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ledum aktiv_icon

19:41 Uhr, 04.04.2019

Hallo
da GW gegen 0 immer einfacher sind setze in

b x 1 = (x - 5) y 1 = y - 5

und betrachte dann

x 1, y 1

gegen 0
oder wähle eine Umgebung von

(5,3)

mit x=5+rcos(t) y=3+rsint

(t)

dann muss der GW für

r

gegen 0 unabhängig von

t

sein.
für die Aufgaben mit

sin (y)

benutze für all

y

gilt si(ny)<=y oder nahe

y = 0 sin (y) = y

. in

c)

benutze |sina|<=1 unabhängig von a dann ist dein GW 0
Gruß lul

ray11 aktiv_icon

20:23 Uhr, 04.04.2019

Hi,

also das bei

(b)

mit

x 1 = (x - 5), y 1 = (x - 5)

und dann

x 1, y 1

gegen 0 verstehe ich nicht.

bei

(d)

hätte ich: Für

x 1 \in ℝ^{2} : | | x 1 - (0,0) | | < δ \Rightarrow | | f (x 1) - f (0,0) | | < ε

{| | f (x) - f (0,0) | |}_{1} = {| | f (x) | |}_{1} = | \frac{x^{2} {sin}^{2} (y)}{x^{2} + 2 y^{2}} | \leq | \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} | = | \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} - y^{2}} | = \frac{1}{{| | x 1 | |}^{2}} \cdot x^{2} \cdot y^{2}

. Wie komme ich hier weiter?

ermanus aktiv_icon

21:29 Uhr, 04.04.2019

Hallo,
zu b)
Wenn du

x_{1} = x - 5

und

y_{1} = y - 3

setzt,
hast du:

x_{1} \to 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x \to 5

und

y_{1} \to 0 \overset{}{\Leftrightarrow} y \to 3

Das ist es, was ledum meinte. Das führt zu

lim_{(x, y) \to (5, 3)} \frac{2 (x - 5) (y - 3)^{4}}{(x - 5)^{2} + (y - 3)^{8}} = lim_{(x_{1}, y_{1}) \to (0, 0)} \frac{2 x_{1} y_{1}^{4}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{8}}

.
Gruß ermanus

ledum aktiv_icon

21:35 Uhr, 04.04.2019

Hallo
ob

x

gegen 5 oder

x - 5

gegen 0 geht ist egal, deshalb kannst du auch

2 x 1 \cdot y \frac{1^{4}}{x 1^{3} + y 2^{8}}

ansehen die

x 1, y 1 \to 0

und das mit den folgen, wie in

a) z . B

. ebenso bei

d,

beliebige 0 folgen, der Zähler geht schneller gegen 0 als der Nenner.
oder mit dem Kreis y=rcos(t) y=rsin(t) daraus r^4(cos^2(t)*sin^2(t)/(r^2(cos^2(t)+2sin^2(t) geht unabhängig von

t

gegen 0 (durch r^2kürzen)
Gruß ledum

ray11 aktiv_icon

08:19 Uhr, 05.04.2019

Und was mache ich mit

lim_{(x, y) \to (5,3)} \frac{2 (x - 5) {(y - 3)}^{4}}{{(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{8}} = lim_{(x_{1}, y_{1}) \to (0,0)} \frac{2 x_{1} y_{1}^{4}}{x_{1}^{2} + y_{1}^{8}}

ich sollte ja irgendwie auf

| | (x, y) - (5,3) | |

kommen um dann mein

ε

wählen zu können, richtig?

Bei

(d)

reicht es bei uns üblicherweise nicht aus, wenn ich sage dass etwas schneller gegen 0 geht. Wir sollten bei Stetigkeit beweisen immer

ε δ

verwenden.

ermanus aktiv_icon

08:30 Uhr, 05.04.2019

Hallo,
wähle speziell die Folge

(x_{1}, y_{1}) = (\frac{1}{n}, \frac{1}{n})

,
oder mit den Originalvariablen

(x, y) = (5 + \frac{1}{n}, 3 + \frac{1}{n})

.
Gruß ermanus

ray11 aktiv_icon

08:47 Uhr, 05.04.2019

Ok, das verstehe ich und somit könnte ich mit Hilfe der Folge zeigen dass der Grenzwert 0 ist.
Aber ich will ja zeigen dass die Funktion stetig ist und wir haben gelernt, dass es bei Funktionen von

ℝ^{2} \to ℝ

nicht ausreicht eine Folge zu finden, da man das für unendlich viele Richtungen zeigen müsste. Weil man sich ja von jeder Richtung annähern.

Oder wäre der Beweis mit der Folge auf einen Beweis mittels

ε δ

rausgelaufen?

ermanus aktiv_icon

08:50 Uhr, 05.04.2019

Nein. "Der Nenner geht schneller gegen 0 als der Zähler" sollte
dir mitteilen, dass der Limes nicht existiert. Die vorgeschlagenen
Folgen sollst du benutzen, um die Unstetigkeit im zu untersuchenden
Punkt zu zeigen.

ermanus aktiv_icon

08:57 Uhr, 05.04.2019

Oh, sorry!!!
Ich habe mich verguckt!
Muss nochmal darüber nachdenken !
Melde mich in ca. einer halben Stunde wieder.

ray11 aktiv_icon

09:08 Uhr, 05.04.2019

Kein Problem.
Wir sollten das mit

ε - δ

zeigen denke ich. Vl kannst du mir diesbezüglich etwas weiterhelfen.

Wie würde ein Beweis mittels Folgenkriterium bei Funktionen im 3 dimensionalen denn funktionieren? Bei

2 D

muss ich ja nur Folgen von links und rechts betrachten, aber im

3 D

müsste ich ja von jeder (unendlich viele) Richtung eine Folge betrachten um Stetigkeit zu zeigen oder nicht?

ermanus aktiv_icon

09:23 Uhr, 05.04.2019

So, nun aber:
mit

ε

und

δ

bin ich nicht weitergekommen, so dass ich
mich wieder für Unstetigkeit interessiert habe.
Betrachte in den Originalvariablen die Folge

(5 + \frac{1}{n^{4}}, 3 + \frac{1}{n})

ray11 aktiv_icon

10:19 Uhr, 05.04.2019

Ah ja mit dieser Folge kommt man auf GW

= 1

und somit unstetig im Punkt

(5,3)

.
Dann wären die ersten 3 Funktionen schon mal nicht stetig.
Kannst du mir evt noch bei der letzten helfen?
Ich hätte es im 3. Beitrag schon versucht mit

ε - δ

ermanus aktiv_icon

10:24 Uhr, 05.04.2019

Bei c) irrst du dich. c) ist in (0,0) stetig.
Zu d) melde ich mich gleich wieder ...

ray11 aktiv_icon

10:32 Uhr, 05.04.2019

Wo liegt der Fehler bei

(c)

? Bzw wie zeige ich dass diese Funktion stetig ist?
Stetigkeit liegt mir wohl wirklich nicht.

: (

ermanus aktiv_icon

10:48 Uhr, 05.04.2019

Zu c)
Es ist

∣ f (x, y) ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) ∣ \leq ∣ x ∣ \cdot 1

,
also

lim_{(x, y) \to (0, 0)} ∣ f (x, y) ∣ \leq lim_{(x, y) \to (0, 0)} ∣ x ∣ = 0

.

Irgendwie habe ich heute was auf den Augen :(
d) folgt in Kürze

Editiert!

ray11 aktiv_icon

11:10 Uhr, 05.04.2019

Wenn ich bei

(d)

die Folge

(0, \frac{1}{n})

betrachte, bekomme ich doch

\frac{0 \cdot {sin (\frac{1}{n})}^{2}}{0 + \frac{1}{n^{2}}}

?

Das wäre doch 0 wegen dem

\cdot 0

im Zähler?

ermanus aktiv_icon

11:34 Uhr, 05.04.2019

Ja, da hast du Recht.
Diese Folge nützt einem nichts. Habe deswegen meinen Beitrag editiert.
Wr haben hingegen folgendes:

∣ \frac{x^{2} \sin (y)^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} ∣ \leq ∣ \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} ∣

,
da

∣ s i n (y) ∣ \leq ∣ y ∣

ℝ

gilt.
Kommst du damit weiter?

P.S.: Stetigkeit ist angesagt, also

lim = 0

ray11 aktiv_icon

11:51 Uhr, 05.04.2019

Ich versuche es.

| \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} | \leq | \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} | \leq | \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} - y^{2}} |

\leq | \frac{x^{2} y^{2}}{2 \cdot x \cdot y} | (

wegen 2xy

\geq x^{2} - y^{2})

= | \frac{x \cdot y}{2} |

Nur wie komme ich jetzt auf

| (x, y) | < δ

?
Damit ich dann ein passendes

ε

wählen kann.

ermanus aktiv_icon

12:12 Uhr, 05.04.2019

Deine Ungleichung

2 x y \geq x^{2} - y^{2}

ist falsch, z.B. nimm

x = 1

und

y = - 1

.
Aber wie wäre es so:

∣ \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} ∣ \leq ∣ \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} ∣

für

x \neq 0

und

∣ \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} ∣ = 0

für

x = 0

...

ermanus aktiv_icon

12:19 Uhr, 05.04.2019

Übrigens, so wie ich es mal gelernt habe, ist

ε > 0

beliebig aber
vorgegeben und man muss ein

δ > 0

finden, so dass

∥ (x, y) ∥ < δ \Rightarrow ∣ f (x, y) ∣ < ε

gilt.

ray11 aktiv_icon

12:38 Uhr, 05.04.2019

Ah ja natürlich muss man das

δ

wählen, falsch geschrieben von mir. Dann also eine Fallunterscheidung für

x = 0

und

x \neq 0

.

Für

x \neq 0

habe ich dann

| \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} | = | y^{2} |

und jetzt?

Für

x = 0

habe ich zwar

| \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} + 2 y^{2}} | = 0

aber wie komme ich hier auf

| | (x, y) | | < δ

montarenbici aktiv_icon

12:48 Uhr, 05.04.2019

Ich rechne gerade dieselbe HÜ ;-)
Ich habe den Feed durchgelesen und bzgl

(b)

ist mir Folgendes aufgefallen. Wenn ich es richtig verstanden habe, habt ihr euch darauf geeinigt, dass

f

stetig ist. Aber wenn man da die Folge

({(\frac{1}{n})}^{4} + 5, (\frac{1}{n}) + 3)

wählt, kommt man drauf, dass die Funktion nicht stetig ist.

montarenbici aktiv_icon

13:02 Uhr, 05.04.2019

@ermanus

danke für die

(d),

hast mir viel geholfen :-)

ermanus aktiv_icon

13:02 Uhr, 05.04.2019

Hallo Montarenbici,
schau in die Beiträge 9:23 und 10:19.
Da siehst du, dass wir uns auf nicht stetig "geeinigt" haben.
Gruß ermanus

montarenbici aktiv_icon

13:04 Uhr, 05.04.2019

Tut mir Leid, das habe ich irgendwie übersehen, aber in dem Fall haben wir die gleiche Folge gefunden ;-)

ermanus aktiv_icon

13:11 Uhr, 05.04.2019

@ray11:
nun ist ja auch

0 \leq {∣ y ∣}^{2}

, also haben wir jetzt insgesamt für alle

(x, y) \neq (0, 0)

∣ f (x, y) ∣ \leq {∣ y ∣}^{2}

.
Setze nun

δ = \sqrt{ε}

. Dann gilt:

∥ (x, y) ∥ < δ \Rightarrow ∣ f (x, y) ∣ \leq ∣ y^{2} ∣ \leq ∣ x^{2} + y^{2} ∣ = {∥ (x, y) ∥}^{2} < δ^{2} = ε

ray11 aktiv_icon

13:36 Uhr, 05.04.2019

Ahhh jetzt sehe ich es auch. Mir fehlt da meistens die richtige Denkweise dafür um die ganzen Dinge miteinander zu verknüpfen. Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe. :-D)

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