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Symmetrieachse einer Parabel

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, Quadratische Ergänzung:X-Werte, Symmetrieachse

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12:11 Uhr, 18.09.2011

Die Aufgabe lautet:

y = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 4

sei eine Parabel.
Zeige: Die Gerade

x = 3

ist eine Symmetrieachse der Parabel.
Meine bisherigen Lösungsansätze sind:

y = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 4

\Rightarrow S : (3; 4)

Nun habe ich versucht, die Schnittpunkte zu errechnen:

\frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 4 = 3 x | T

\frac{1}{2} (x^{2} - 6 x + 9) - 4 = 3 x | T

\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4.5 - 4 = 3 x | T

\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 0.5 = 3 x | - 3 x

\frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 0.5 = 0 | \cdot 2

x^{2} - 12 x + 1 = 0 | T

x^{2} - 12 x + {(6)}^{2} - {(6)}^{2} = 0 | T + 36

{(x - 6)}^{2} = 36

Wurzel ziehen:

x - 6 = 6; - 6 | + 6

x = 12; 0

Ich habe nur noch nicht ganz verstanden, wieso für

x

zwei Werte herauskommen, und wie man sie dann verwendet. Außerdem könnte meine Rechnung falsch sein.
Wenn ich es richtig verstanden habe, dann muss man um

y

herauszubekommen die x-Werte in eine der Funktionsgleichungen einsetzen. Wenn ich das jedoch mache, kommt mit

12

bei der Parabel

36,5

und bei der Geraden

36

heraus und bei 0 bei der Parabel

0.5

und bei der Geraden 0. Daher verstehe ich nicht wie man weiterkommt und wie man die Symmetrieachse berechnet. Hoffe auf baldige Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:17 Uhr, 18.09.2011

Du könntest zeigen, dass

f (3 + x) = f (3 - x)

für alle

x \in D_{f}

gilt oder dass

f (x) = f (6 - x)

für alle

x \in D_{f}

gilt.

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12:47 Uhr, 18.09.2011

Leider beherrsche ich die Formelsprache nur unzureichend und kann mir somit nicht erklären, wie mir das helfen soll. Was ist

z . B

. Df

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13:32 Uhr, 18.09.2011

Der Definitionsbereich deiner Funktion: www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Definitionsbereich

f (6 - x) = \frac{1}{2} \cdot {(6 - x - 3)}^{2} - 4 = ... = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 4 = f (x)

So sollte deine Rechnung in etwa aussehen. Versuche selbst auf die Zwischenschritte

. .

. zu kommen.

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14:11 Uhr, 18.09.2011

f(6−x)=1/2⋅(6−x−3)2−4=...=1/2(x−3)2−4=f(x)
Wie kommst du dabei auf

f (6 - x)

?
Und was meinst du mit

= ... =

?
Bedeutet das, dass meine Lösungsansätze falsch waren?

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14:23 Uhr, 18.09.2011

Wie gesagt, ein Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zu

x = a

falls für alle

x \in D_{f}

gilt

f (x) = f (2 a - x)

.
Siehe: www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Symmetrie (mit einer Zeichnung wird es deutlich)
Die

. .

. sollst du durch die Zwischenschritte ersetzen. Ich wollte nicht alles vorrechnen.
Und ja deine Lösungsansätze haben nichts mit der gestellten Aufgabe zu tun.

DmitriJakov aktiv_icon

14:28 Uhr, 18.09.2011

Ich fang vielleicht nochmal an. Der Ansatz von shipwater ist vielleicht etwas zu schnell für Dich gegangen.

Wenn Du bisher die Achsensymmetrie untersucht hast, dann war das meistens bezogen auf die y-Achse:

f (x) = f (- x)

Jetzt ist aber nicht die y-Achse die Symmetrieachse, sondern eine Parallele zur y-Achse, nämlich die Senkrechte über

x = 3

.

Alle

f (x)

rechts von

x = 3

sollen den selben wert haben wie die

f (x)

im selben Abstand links davon:

Ausgehend von

f (3),

dem Symmetriepunkt:

f (3 + i r g e n d w a s)

soll gleich sein wie

f (3 - i r g e n d w a s)

. Jetzt ersetze "irgendwas" durch

x,

dann hast Du:

f (3 + x) = f (3 - x)

Das musst Du überprüfen. Ist diese Gleichung erfüllt, also wahr, dann hast Du gezeigt, dass

x = 3

eine Symmetrieachse zu

f (x)

ist.

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14:51 Uhr, 18.09.2011

Ich denke, das habe ich so weit verstanden.
Aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich

f (3 + x) = f (3 - x)

beweisen soll.
Wäre das:

f (6 - x) = \frac{1}{2} {(6 - x - 3)}^{2} - 4 = f (3 - x) = \frac{1}{2} {(3 - x - 3)}^{2} = f (x) = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2}

DmitriJakov aktiv_icon

14:58 Uhr, 18.09.2011

Mach es einfach so:

f (3 + x) = f (3 - x)

\frac{1}{2} \cdot {((3 + x) - 3)}^{2} - 4 = \frac{1}{2} \cdot {((3 - x) - 3)}^{2} - 4 | + 4

\frac{1}{2} {((3 + x) - 3)}^{2} = \frac{1}{2} {((3 - x) - 3)}^{2} | \cdot 2

{((3 + x) - 3)}^{2} = {((3 - x) - 3)}^{2}

Klammern auflösen:

x^{2} = {(- x)}^{2}

x^{2} = {(- 1)}^{2} \cdot x^{2}

x^{2} = x^{2} \to

wahr!

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15:10 Uhr, 18.09.2011

Ahhh, Vielen Dank!
Jetzt kapiere ich das!
Ich glaube es fällt mir so schwer solche Aufgaben zu lösen, weil wir keine Beispielaufgaben mehr berechnen, sondern direkt Neue machen.
Weißt du vlt, wo es noch mehr solcher Beispielaufgaben gibt?

Shipwater aktiv_icon

15:13 Uhr, 18.09.2011

Ich habe oben doch schon einen Link dazu gepostet. Übrigens zeigt man üblicherweise eher

f (x) = f (2 a - x)

anstatt

f (a + x) = f (a - x)

weil es meist einfacher ist. Und dann auch zunächst nur eine Seite betrachten. Also so:

f (6 - x) = \frac{1}{2} \cdot {(6 - x - 3)}^{2} - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{2} - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} - 4 = f (x)

In einer Zeile ist das ganze also erledigt.

DmitriJakov aktiv_icon

15:14 Uhr, 18.09.2011

Da müsste ich auch erstmal suchen. Die Schlagworte "Übungsaufgabe Symmetrie mit Lösung" könnten helfen, aber das ist ein recht umfangreiches Feld, denn es gibt auch schiefe Symmetrieachsen ;-)

PSFunk aktiv_icon

15:34 Uhr, 18.09.2011

Danke für eure Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

15:41 Uhr, 18.09.2011

Das vielleicht noch zum Verständnis: www.mathematik.net/symmetrie/s01s31.htm

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