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Tangente an Kreis durch Punkt außerhalb

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, Kreis, Tangent, Tangentengleichung

lewin- aktiv_icon

19:38 Uhr, 09.06.2024

Ich schreibe morgen einen Test und muss aufgaben üben die ich noch nie gesehen habe also freue ich mich über eine möglichst verständliche Erklärung/Anleitung. Vielen Dank!

Gegeben ist der Kreis k:(x(vektor)-(-4|-3))²=9 und der Punkt

P (- 7 | - 1,5)

Ermitteln Sie rechnerisch Gleichungen der Tangenten an

k

durch

P

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Tangente / Steigung
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

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19:59 Uhr, 09.06.2024

Hallo,

man hat den Punkt

P (x_{p} / y_{p}) = P (- 7 / - 1, 5)

. Der Mittelpunkt

M

des Kreises ist

M (x_{M} / y_{M}) = M (- 4 / - 3)

. Die Gerade

G

die durch den Mittelpunkt

M

und den Punkt

P

geht, hat die Steigung

m_{g} = \frac{y_{P} - y_{M}}{x_{P} - x_{M}}

m_{g}

kann berechnet werden. Jetzt ist die "Tangente" senkrecht zu der Geraden G. Ist

m_{t}

die Steigung der Gerade, dann gilt folgende Beziehung:

m_{t} = - \frac{1}{m_{g}}

m_{t}

kann auch berechnet werden.

Die Tangentengleichung ist

y = m_{t} \cdot x + b

. Um b zu berechnen wird umgestellt:

b = y - m_{t} \cdot x

Die Wert

m_{t}

ist jetzt bekannt. Und für

x

und

y

jeweils die Koordinaten des Punktes

P

einsetzen.

Gruß
pivot

HAL9000

20:31 Uhr, 09.06.2024

> Jetzt ist die "Tangente" senkrecht zu der Geraden G.

Stimmt nicht: Ist

T

einer der Tangentenpunkte, so gilt

P T ⊥ M T

, aber nicht

P T ⊥ M P

.

Eine Möglichkeit zur Ermittlung von

T

(und damit dann mittelbar zur Tangentengleichung):

Diese Tangentenpunkte liegen nicht nur auf dem Ausgangskreis, sondern auch auf dem Thaleskreis mit Durchmesser

M P

, dessen Gleichung ist

{(x - x_{N})}^{2} + {(y - x_{N})}^{2} = r_{N}^{2}

mit

x_{N} = \frac{x_{M} + x_{P}}{2} = - \frac{11}{2}

y_{N} = \frac{y_{M} + y_{P}}{2} = - \frac{9}{4}

und

r_{N}^{2} = {(\frac{∣ M P ∣}{2})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{45}{16}

, dabei kennzeichnet

N

den Mittelpunkt von

M P

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20:45 Uhr, 09.06.2024

Ja, ich habe nicht darauf geachtet, dass der Punkt nicht auf dem Kreis liegt.

Respon

01:59 Uhr, 10.06.2024

P (- 7 | - 1,5)

{(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9

Mittels Spaltform die Polare bezüglich

P

ermitteln.

(x + 4) \cdot (- 7 + 4) + (y + 3) \cdot (- 1,5 + 3) = 9 \Rightarrow y = 2 \cdot x + 11

Schnitt der Polaren mit dem Kreis liefert die zwei Berührpunkte.

{(x + 4)}^{2} + {(2 \cdot x + 14)}^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = - 7

und

x_{2} = - \frac{29}{5}

\Rightarrow

B_{1} (- 7 | - 3)

und

B_{2} (- \frac{29}{5} | - \frac{3}{5})

B_{1}

zeigt die besondere Lage dieser Tangente.

HAL9000

08:56 Uhr, 10.06.2024

Interessant, dass mir der Begriff "Spaltform" in über 5 Jahrzehnten erfolgreich aus dem Weg gegangen ist. Ok, bin auch kein ausgesprochener Geometer, und im Schulunterricht habe ich das sicher nicht kennengelernt. ;-)

Damit ist es deutlich weniger Rechenarbeit um zu der Verbindungsgeradengleichung der beiden Tangentenpunkte zu kommen als mit der von mir angedachten Differenz der beiden Kreisgleichungen, die das in umständlicher Weise letztlich auch leistet.

lewin- aktiv_icon

10:27 Uhr, 10.06.2024

Besten Dank für alle Antworten, sie haben mir viel geholfen!

Respon

10:42 Uhr, 10.06.2024

"Ermitteln Sie rechnerisch Gleichungen der Tangenten an

k

durch P"
Um das Beispiel wirklich erfolgreich abzuschließen sollten wir auch noch die Ergebnisse vergleichen.

t_{1} : y = 0,75 \cdot x + 3,75

t_{2} : x = - 7

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