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Tangente an Kreis

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kreis, Tangentengleichung, x-Achse

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19:19 Uhr, 25.11.2009

Hallo ich hab gleich mehrere Fragen, bin über jede Hilfe dankbar!

Also:
$1)$ Tangente an den Kreis $k : {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 49$
a)parallel zur x-Achse
$b) \in$ 45° Neigung zur x-Achse

$2) g : y = - 2 x + 5$ sei Tangente an $k$ in Koordinatenursprung.
Wie kann ich denn hier den Radius ermitteln?!

$3) k : x^{2} + y^{2} = 9$ und Punkt $P (5; 0)$ außerhalb von $k$
Meine Konstruktion klappt super, nur wie bekomm ich denn die Tangenten rechnerisch hin? dann würde doch aber 0 rauskommen?
$. .$ .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Tangente / Steigung
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

munichbb

19:39 Uhr, 25.11.2009

Hi,

zu $1)$

Paralell zur Abszisse:

Bei ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 49;$

Mittelpunkt: $(4 | - 3);$

Kreisradius:

$\sqrt{49} = 7;$

$- 3 + 7 = 4 : \to y = 4;$

$- 3 - 7 = - 10; \to y = - 10;$

Steigung bei $45 \circ = 1;$

$f (x) =$ mx $+ b;$

MP einsetzen:

$- 3 = 4 + b; b = - 7;$

$f (x) = x - 7; \to$ Normale?

$n (x) = - x + 1;$

Schnittpunkte Kreis mit Normale:

Paralelle Geraden zu $f (x) = x - 7$ durch die Schnittpunkte.

mubb

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19:47 Uhr, 25.11.2009

Oh, oh das nimmt noch nen schlimmes Ende mit mir :-P)
Dankeschön für den Anstupser!
Bleiben ja nur noch die anderen Aufgaben $- . .$ .

munichbb

19:58 Uhr, 25.11.2009

Hi,

zu $2)$

$y = - 2 x + 5;$

minimaler Abstand zum Ursprung?

Paralelle durch Ursprung $\to b = 0;$

$x^{2} + y^{2} = 5;$

$r_{K r e i s} = \sqrt{5};$

mubb

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20:06 Uhr, 25.11.2009

wie bist du jetzt auf Wurzel 5 gekommen?

also zu 2. $x - 7$ passt ja, aber es gibt doch 2 Parallelen?!
oh gott... ich steh grad voll auf dem schlauch...

munichbb

20:16 Uhr, 25.11.2009

Hi,

das ist einfach.

$z$ . B.

Der Schnittpunkt zwischen der Geraden:

$f (x) = - 2 x + 5;$

und der Normalen durch den Ursprung:

$n (x) = \frac{1}{2} x;$

ist:

$(2 | 1);$

Pythagoras:

$r = \sqrt{2^{2} + 1^{2}};$

mubb

munichbb

21:19 Uhr, 25.11.2009

Hi,

nun fehlt noch

$3)$

$z . B$ .

Kathetensatz:

$r = 3 = b;$

$(5 | 0) =$ Hypotenuse $= c;$

$b^{2} = c q;$

$q = \frac{b^{2}}{c} = \frac{9}{5} = x;$

$h = \sqrt{b^{2} - q^{2}} = 2,4;$

Schnittpunkte mit den Tangenten:

$(1,8 | 2,4);$

$(1,8 | - 2,49);$

Tangenten aus 2 Punkten bestimmen.

Skizze

mubb

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21:30 Uhr, 25.11.2009

AH! also muss ich nur noch die Punkte nehmen und meine tangenten aufstellen? und wo bekomm ich den anstieg her? den brauch ich doch oder?

warum muss ich eigentlich den kathtensatz nehmen?!

dickes dankeschön schon mal :-)

munichbb

21:34 Uhr, 25.11.2009

Hi,

ich habs ganz bequem gemacht, aber viele Wege führen nach . . .

Schaue auf die Skizze.

Gerade aus 2 punkten:

$y = m x + b;$

Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2,4}{- 3,2} = - \frac{3}{4};$

mubb

munichbb

21:42 Uhr, 25.11.2009

Hi,

hast du noch Fragen?

mubb

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22:06 Uhr, 25.11.2009

Ja :-) zu erstens die tangenten in 1 bei der 45° Neigung sind dann die "Paralellen Geraden zu $f (x) = x - 7$ durch die Schnittpunkte" oder hab ich das falsch verstanden?

$x - 7$ hab ich auch aber es müssen ja 2 sein!?

bei der letzten heißt dann also eine tangente $y = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{4}$
und die andere: $y = \frac{3}{4} x - \frac{21}{20}$ ?!

ja genauso sieht mein bild aus, danke nochmal zur verdeutlichung :-)

munichbb

22:45 Uhr, 25.11.2009

Hi,

zu $1 b)$

du hast die Kreisgleichung

und setzt für $y$ die Normale ein $(- x + 1) :$

${(x - 4)}^{2} + {(- x + 1 + 3)}^{2} = 49;$

$2 {(- 4 + x)}^{2} = 49;$

$x_{1} = \frac{8 - 7 \sqrt{2}}{2}; \to y =$

$x_{2} = \frac{8 + 7 \sqrt{2}}{2}; \to y =$

2 Punke, 2 Tangenten $| |$ zur $f (x) = x - 7;$

mubb

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22:56 Uhr, 25.11.2009

ich versag hier noch total, kann ich das nicht ausmultiplizieren, dann steht da doch
${(x - 4)}^{2} + {(- x + 1 + 3)}^{2} = 49$
$x^{2} - 8 x + 16 + x^{2} - 8 x + 16 = 49$
$x^{2} - 8 x - \frac{17}{2} = 0$
lösungsformel
$4 +$ wurzel aus $\frac{15}{2}$
$4 -$ wurzel aus $\frac{15}{2}$

jetzt hab ich mich hundert pro irgendwo verrechnet^^

munichbb

23:24 Uhr, 25.11.2009

Hi,

du hast dich mit der pq verrechnet:

$x_{1,2} = \frac{8}{2} \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{4} + \frac{17}{2}} = \frac{8}{2} \pm \sqrt{\frac{64}{4} + \frac{34}{4}} = \frac{8}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{98} = \frac{8}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{8 \pm 7 \sqrt{2}}{2};$

mubb

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23:37 Uhr, 25.11.2009

Stimmt und wo muss ich mit dem $x -$ wert dann nochmal hin, meine letzte frage :-)

munichbb

23:47 Uhr, 25.11.2009

Hi,

du setzt $x \to z$ . B. in deine Normalengleichung ein:

$n (x) = 1 - \frac{8 - 7 \sqrt{2}}{2} = y_{1};$

$y_{2}; = 1 - \frac{8 + 7 \sqrt{2}}{2};$

mubb

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23:49 Uhr, 25.11.2009

Dankeschön für die aufwendige hilfe, war ja nen ganztagesprojekt :-P)

wär nicht allein drauf gekommen, also nochmal vielen dank!

munichbb

23:51 Uhr, 25.11.2009

Hi,

das sehe ich eher als ein lustiges Spiel und ich kann mich total dabei entspannen.

mubb

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