Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Tangente an einer Exponentialfunktion

Tangente an einer Exponentialfunktion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: an einer bestimmten stelle x, Exponentialfunktion, natürliche Exponentialfunktion, Tangent, Tangente, Tangentengleichung, x-Achse

delia95 aktiv_icon

23:34 Uhr, 06.10.2011

Hallo :-)

In welchem Punkt schneidet die Tangente, die den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion im Punkt P(2/e^2) berührt, die x-Achse?

Lösungsansätze:
y=e^x
2=e^e^x
2=a*e^x+b

Danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreise und Lagebeziehungen
Tangente / Steigung
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

23:44 Uhr, 06.10.2011

2 = e

"^"

e

"^"

x

was willst du damit sagen?

also: für die Aufgabe solltest du die Gleichung der Tangente im Punkt

P (2, e^{2})

aufschreiben..
und dann deren Nullstelle berechnen.

ach ja:
wie kannst du die Steigung der Tangente im Punkt

P

berechnen?

delia95 aktiv_icon

13:01 Uhr, 07.10.2011

Ja das weiß ich, dass ich die Tangentengleichung herausbekommen muss, aber ich weiß nicht wie... das, was ich weiß ist, dass meine Lösungsansätze falsch sind.

Vielleicht sind diese Ansätze besser:
Tangente:
y = m*x + n
f(x) = e^x
f'(2) = e^2
y = e^2x + n
e^2 = e^2x + n

Aber wie bekomme ich n raus??

funke_61 aktiv_icon

13:16 Uhr, 07.10.2011

Du musst die Gleichung der Tangente an den Punkt

P (2 | e^{2})

aufstellen.
die Steigung

m

ist die Ableitung der Funktion

f (x) = e^{x}

im Punkt 2
soweit scheinst Du richtig zu liegen, denn

f (x) = e^{x}

f' (x) = e^{x}

f' (2) = e^{2}

jetzt brauchst Du noch die sogenannte
"Punkt-Steigungs-Form" der Geradengleichung.
Diese Gleichung kannst Du Dir auch aus einem Steigungsdreieck

m = \frac{Δ y}{Δ x}

selber herleiten
Schon mal gehört?

delia95 aktiv_icon

13:58 Uhr, 07.10.2011

ne, davon habe ich noch ncihts gehört und kann mir auch nicht viel drunter vorstellen...

funke_61 aktiv_icon

14:05 Uhr, 07.10.2011

ok.
Du brauchst diese Formel:

m = \frac{y - y_{p}}{x - x_{p}}

Darin sind

y

und

x

die freien Variablen der Geradengleichung und

x_{p}

und

y_{p}

die Koordinaten des Punktes

P (x_{p} | y_{p})

.
Bei Dir sind das

P (2 | e^{2})

also ist hier

x_{p} = 2

und

y_{p} = e^{2}

Die Steigung

m

der gesuchten Tangente hast Du schon ausgerechnet:

m = e^{2}

Jetzt setz mal ein und bring das ganze in die Form einer Geradengleichung (Die Du ja oben auch schon angeschrieben hast)
;-)

funke_61 aktiv_icon

14:13 Uhr, 07.10.2011

sorry, eben war in der Steigungsformel noch ein Fehler

(y_{p}

statt

x_{p}

im Nenner)!
jetzt sollte es richtig sein.

delia95 aktiv_icon

15:25 Uhr, 07.10.2011

Danke erst mal für die ausführliche Hilfe, aber ich weiß leider immer noch nicht, was ich wo einsetzen soll...

meinst du jetzt:

m = y - \frac{e^{2}}{x} - 2 - \to

also ich meine

y - e^{2}

durch

x - 2

wegen

m = y - y

durch

x - x

oder

e^{2} = e^{2} \cdot 2 + n

Atlantik aktiv_icon

16:48 Uhr, 07.10.2011

Hallo,

y = e^{x}

y´=e^x

y´(2)=

e^{2}

ist die Steigung an der Stelle

x = 2

Punkt-Steigungsform:

\frac{y - e^{2}}{x - 2} = e^{2}

y - e^{2} = e^{2} \cdot (x - 2) = e^{2} \cdot x - 2 e^{2}

y = e^{2} \cdot x - e^{2}

Tangentengleichung

Nullstelle:

e^{2} \cdot x - e^{2} = 0

e^{2} \cdot x = e^{2}

x = 1

Alles Gute

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Matheboss aktiv_icon

16:49 Uhr, 07.10.2011

@Atlantik, ich wollte mich nicht einmischen, aber wir waren fast zur selben Zeit.
Ich habe auch den Lösungsansatz des Fragestellers weitergeführt.
Gruß
Matheboss

Also ich übernehme jetzt Deine Rechnung von

13 : 01 h

.
Das stimmt bis dahin, Du musst nur

P (2 | e^{2})

noch einsetzten und die Gleichung nach

n

auflösen.

y = e^{2} \cdot x + n

e^{2} = e^{2} \cdot 2 + n

n = - e^{2}

Tangentengleichung

y = e^{2} \cdot x - e^{2}

delia95 aktiv_icon

12:06 Uhr, 09.10.2011

Danke schön ;-)

Shipwater aktiv_icon

12:49 Uhr, 09.10.2011

Noch ein paar Hinweise: Nach dem Newton-Verfahren gilt für die Nullstelle

x_{0}

der Tangente im Punkt

P (u | f (u))

einfach

x_{0} = u - \frac{f (u)}{f' (u)}

. Hier also

x_{0} = 2 - \frac{e^{2}}{e^{2}} = 2 - 1 = 1

. Falls dir das Newton-Verfahren also schon bekannt ist, hättest du so eine schnelle Alternative gefunden. Damit ist auch schnell hergeleitet, dass die Nullstelle der Tangente im Punkt

P (u | e^{u})

der natürlichen Exponentialfunktion

x_{0} = u - \frac{e^{u}}{e^{u}} = u - 1

ist. Dies ermöglicht dann auch eine schnelle und genaue Konstruktion von Tangenten an die e-Funktion.

924952

924295

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?