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Tangente und Normale bilden ein Dreieck

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Flächeninhalt, Normal, Tangent

 
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anonymous

anonymous

08:13 Uhr, 13.12.2010

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Hallo, nochmal eine Frage von mir. Ich bräuchte die Antwort mit Lösungsweg ziemlich rasch, kann sie leider nicht selbst Lösen da ich 2 Wochen krank war... Vielen Dank schonmal !

Gegeben ist die Funktion h mit der Gleichung h(x)=(4-2x)e2x-1 mit x Element ℝ.

Die Tangente und die Normale an das Schaubild von h an der Stelle x=1 bilden mit der y-Achse ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Danke !
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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BeeGee

BeeGee aktiv_icon

11:29 Uhr, 13.12.2010

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Hallo!

Wenn von Tangenten die Rede ist, leiten wir h(x) erst mal ab (Produktregel + Kettenregel):

h ( x ) ′ = − 2 x ⋅ e 2 x − 1 + ( 4 − 2 x ) ⋅ e 2 x − 1 ⋅ 2 = ( − 2 x + 8 − 4 x ) ⋅ e 2 x − 1 = ( 8 − 6 x ) ⋅ e 2 x − 1

Damit hat die Tangente an der Stelle x=1 die Steigung:

m = h ( 1 ) ′ = ( 8 − 6 ) ⋅ e 2 − 1 = 2 e

Und die Normale folglich:

n = − 1 m = − 1 2 e

Zum Aufstellen der Punkt-Steigungsform für t und n brauchen wir noch den Berührpunkt der Tangenten B (1|h(1)) mit:

h ( 1 ) = ( 4 − 2 ) ⋅ e 2 − 1 = 2 e ⁢           ⇒ B ( 1 | 2 e )

Zum besseren Verständnis skizzierst Du die Funktion am besten mal auf (siehe Zeichnung im Anhang). Dann stellen wir die Gleichungen der beiden Geraden auf:

Tangente:

y t − 2 e x − 1 = 2 e ⁢             ⇒ y t = 2 e ⋅ x ⁢           ( U r s p r u n g s g e r a d e ! )

Normale:

y n − 2 e x − 1 = − 1 2 e ⁢           ⇒ y n = − 1 2 e x + ( 2 e + 1 2 e )

Um den Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks zu bestimmen, betrachten wir mal die Zeichnung: am besten nehmen wir als Grundseite den y-Achsenabschnitt der Normalen (können wir direkt aus ihrer Gleichung oben ablesen) und als Höhe die x-Komponente des Berührpunkts (1|2e), also 1.

Damit ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt des Dreiecks:

A = 1 2 ⋅ c ⋅ h c = 1 2 ( 2 e + 1 2 e ) ⋅ 1 = e + 1 4 e




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