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Taylor Polyanom und Supremum

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Taylorentwicklung, Taylorpolynom

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Mandrake-

Mandrake- aktiv_icon

12:11 Uhr, 12.12.2018

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Hallo zusammen,
folgendes ist meine Aaufgabe:

(b)

Sei

f (x) =

√4

x

für

x > 0

. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades von

f

um den Entwicklungspunkt

x 0 = 1,

also

P (x) = \sum_{v = 0}

(f^(ν)*(1)) / ν!

\cdot (x

− 1)^ν,

(die summe geht bis

2)

und zeigen Sie:
SUP

{| f (x)

−

P (x) | :

für

x

gilt

| x

−

x_{0} | < \frac{1}{10}} \leq \frac{1}{10000}

.
(Hinweis: Nutzen Sie die Substitution

y = x

− 1 und wenden sie

(a)

auf das entsprechende

g (y)

an. Schätzen Sie dann das Restglied der Taylorreihe ab.)

Mein Taylorpolynom ist hier

: - 3 x^{2} - x - 19

an der Entwicklungsstelle 1. Wie bestimme ich jetzt das Sup?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

f (x)

x_{0}

?

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Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

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Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

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Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

14:27 Uhr, 13.12.2018

Antworten

Hallo
ist deine Funktion

f (x) = 2 \cdot \sqrt{x}

? Dann ist erstmal das Taylorpolynom falsch.
bestimme das richtige, und dann das Restglied, das

\supset

des Restgliedes in dem Intervall

0,9 < x < 1,1

Gruß ledum

Mandrake-

Mandrake- aktiv_icon

22:30 Uhr, 13.12.2018

Antworten

Also, ich habe:

f (x) = x^{\frac{1}{4}}

mit

x > 0

f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{7}{4}}}

f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}

P (x) = 1 + \frac{\frac{1}{4}}{1!} (x - 1) + \frac{- \frac{3}{16}}{2!} {(x - 1)}^{2}

P (x) = 1 + \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{6}{32} x - \frac{3}{32}

P (x) = - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{14}{32} x + \frac{21}{32}

Jetzt soll ich hier den Restwert Abschätzen? Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Ich habe die Formeln mit

ξ

dazu gelesen, weis aber nicht wie ich das mit dem Intervall hinbekomme

Mandrake-

Mandrake- aktiv_icon

23:20 Uhr, 13.12.2018

Antworten

muss ich jetzt

g (x) = | f (x) - P (x) |

berechnen und dann
mit

g' (x) = 0

Extremstellen prüfen, oder reicht es dann nur die "Randwerte" des Intervalles

0,9 < x < 1,1

mit

g (x)

zu prüfen?
Dabei kommt dann ja raus, dass das Sup

(...) < \frac{1}{10000}

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:28 Uhr, 14.12.2018

Antworten

Hallo,

der Restterm wäre doch (wenn ich mich nicht verrechnet habe)

R = \frac{1}{3!} \cdot (- 1) \cdot \frac{21}{64} \cdot {(ξ)}^{- \frac{11}{4}} \cdot {(x - 1)}^{3}

Den Absolutbetrag davon kann man abschätzen mit der Information

| x - 1 | < \frac{1}{10}

und

| {(ξ)}^{- \frac{11}{4}} | < 0 . 9^{- \frac{11}{4}},

denn wir wissen ja

0.9 < ξ < 1.1

Gruß pwm

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