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Taylor Reihenentwicklung

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Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Funktion, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Grenzwert, Integration, Partielle Differentialgleichungen

Sekorita aktiv_icon

21:26 Uhr, 19.11.2021

Hallo,

ich verzweifle etwas an Aufgabe 4 meines ÜBs. Aufgabe a habe ich versucht zu lösen, der Tipp auf dem Blatt hat mir leider nicht viel weitergeholfen.

Aufgabe b habe ich benutzt um c_1 zu zeigen. Wieso aber b gilt, kann ich nicht wirklich zeigen und bei c_2 tue ich mich auch schwer. Ich bin für jeden Tipp und Hilfe dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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pwmeyer aktiv_icon

21:59 Uhr, 19.11.2021

Hallo,

was den Grenzwert angeht, also

a),

so gilt ja

\frac{e x p (- \frac{1}{x^{2}})}{x^{n}} = \frac{1}{e x p (\frac{1}{x^{2}}) x^{n}}

Wir schätzen den Nenner nach unten ab, indem wir von der exp-Reihe nur einen Summanden verwenden:

e x p (\frac{1}{x^{2}}) x^{n} 1 \geq \frac{1}{n!} {(\frac{1}{x^{2}})}^{n} \cdot x^{n} = \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{x^{n}}

Damit gilt dann

\frac{e x p (- \frac{1}{x^{2}})}{x^{n}} \leq n! \cdot x^{n}

Zum Induktionsschritt: Wenn

f^{(n)} (x) = e x p (- \frac{1}{x^{2}}) p_{n} (\frac{1}{x});

dann folgt durch Differenzieren:

f^{(n + 1)} (x) = e x p (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot \frac{2}{x^{3}} \cdot p_{n} (\frac{1}{x}) + e x p (- \frac{1}{x^{2}}) p_{n}' (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})

Also ist

p_{n + 1} (\frac{1}{x}) = \frac{2}{x^{3}} \cdot p_{n} (\frac{1}{x}) + p_{n}' (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})

Man sieht: Der Grad von

p_{n + 1}

ist um 3 höher als der von

p_{n}

.

Gruß pwm

Sekorita aktiv_icon

22:20 Uhr, 19.11.2021

Hallo, danke für deine Hilfe.

Auf die Abschätzung wäre ich nicht gekommen. und weil für n!*x^n der Limes mit x gegen 0 = o ist, bin ich fertig , richtig?

Auf die Ableitung bei b / Induktion hätte ich auch selber können müssen, danke Dir. Ist meine Begründung für c denn richtig und muss nicht f^n (0) = 0 sein, weil f^n = f(0)*pn(1/x) ist und f(0) = o, womit direkt folgt, dass 0*pn(1/x) = o sein muss ?

pwmeyer aktiv_icon

13:45 Uhr, 20.11.2021

Hallo,

Deine letzte Begründung ist unzureichend. Nur weil

f (0) = 0

ist, kann man nicht folgern, dass

f (x) \cdot p_{n} (\frac{1}{x}) \to 0 -

der zweite Faktor könnte ja gegen

\infty

gehen.

Aber die gewünschte Aussage ist ja durch

a)

schon bewiesen, wenn man

p_{n} (\frac{1}{x})

also Summe von Termen

a_{k} \cdot \frac{1}{x^{k}}

schreibt.

Gruß pwm

Sekorita aktiv_icon

16:56 Uhr, 20.11.2021

Hallo pwmeyer,

danke für deine freundliche und schnelle Hilfe. Wenn du zeit hast, könntest du vielleicht auch noch auf meine Frage zu den Landausymbolen einen Blick werfen, das würde mir sehr helfen. Anonsten nochmals Danke und Dir ein schönes Wochenende

Sekorita

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