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Teilbarkeit mit Induktion

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Beweis, Induktion, Teilbarkeit

Wunderblume aktiv_icon

15:53 Uhr, 19.03.2012

Hallo!

Also man soll zeigen:

720

teilt

(n^{2} + 3 n) \cdot (n^{2} - 1) \cdot (n^{2} - 4)

Also ich hab mit Induktion begonnen:

Induktionsanfang:

n = 1 : 720

teilt

(1 + 3) (1 - 1) (1 - 4) - \to 720

teilt 0
Also stimmt der Induktionsanfang.

Induktionsvoraussetzung:

720

teilt

(n^{2} + 3 n) \cdot (n^{2} - 1) \cdot (n^{2} - 4)

Induktionsschritt:

n - \to n + 1

720

teilt

({(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1)) \cdot ({(n + 1)}^{2} - 1) \cdot ({(n + 1)}^{2} - 4)

- \to 720

teilt

(n 2 + 2 n + 1 + 3 n + 3) (n^{2} + 2 n + 1 - 1) (n^{2} + 2 n + 1 - 4)

Weiter komm' ich nicht, weil wenn ich das ausmultipliziere, komm' ich auf keinen grünen Zweig. Kann mir wer helfen?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

18:11 Uhr, 19.03.2012

Hallo,

ist in der Aufgabe verlangt, dass der Beweis mit vollständiger Induktion geführt wird?
Sind binomial-koeffizienten bekannt?

Gruß pwm

Wunderblume aktiv_icon

19:28 Uhr, 19.03.2012

Nein, in der Aufgabe ist nicht verlangt, es mit Induktion zu lösen, es gibt auch eine andere Aufgabe, die ähnlich war wie diese, und die hat man mit Induktion gelöst, also dachte ich mir, dass man diese auch mit Induktion löst.
Und ja, Binomialkoeffizienten sind bekannt.

lg

pwmeyer aktiv_icon

08:43 Uhr, 20.03.2012

Hallo,

dann schau Dir mal den Binomialkoeffizienten

binomial(n+3,6)

an.

Gruß pwm

Bummerang

09:37 Uhr, 20.03.2012

Hallo,

hier mal eine einfache Version ohne Induktion und ohne Binomialkoeffizienten:

(n^{2} + 3 \cdot n) \cdot (n^{2} - 1) \cdot (n^{2} - 4)

= n \cdot (n + 3) \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 2)

= (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3)

Das ist das Produkt von 6 aufeinanderfolgenden Zahlen. Unter diesen Zahlen sind 3 gerade Zahlen und mindestens eine dieser 3 geraden Zahlen ist durch 4 teilbar. Damit ist das Produkt mindestens durch

2 \cdot 2 \cdot 4 = 16

teilbar! Unter diesen 6 Zahlen sind mindestens zwei durch 3 teilbar. Damit ist das Produkt auch durch

3 \cdot 3 = 9

teilbar! Außerdem ist unter diesen 6 Zahlen mindestens eine durch 5 teilbar. Damit ist insgesamt das Produkt immer durch

16 \cdot 9 \cdot 5 = 720

teilbar!

Wunderblume aktiv_icon

11:14 Uhr, 20.03.2012

Dankeschön, es ist verständlich. :-)
Liebe Grüße

986411

986103

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