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Teilfolgen

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Apfelesser aktiv_icon

18:53 Uhr, 28.11.2018

Hallo liebes Forum,

für mein Übungsblatt in Analysis muss ich folgende Fragen beantworten, für die mir aber offensichtlich die Fantasie fehlt:

1. Geben Sie Beispiele an oder begründen Sie, warum es keines geben kann, für:

(a)

eine Folge, die eine beschränkte Teilfolge besitzt, aber keine konvergente Teil-
folge.

(b)

eine Folge, die weder 0 noch 1 als Folgenglied enthält, aber Teilfolgen, die gegen
diese beiden Werte konvergieren.

(c)

eine Folge, die zu jedem Wert aus der Menge der Stammbrüche

B := {\frac{1}{n} | n

∈

N}

jeweils eine gegen diesen Wert konvergente Teilfolge enthält.

2. Entscheiden Sie, ob die folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind, und geben
Sie jeweils eine kurze Begründung an.

(a)

Wenn jede echte Teilfolge einer Folge (an) konvergiert, dann konvergiert auch
(an).

(b)

Wenn (an) eine divergente Teilfolge enthält, dann ist (an) divergent.

(c)

Wenn (an) monoton ist und eine konvergente Teilfolge enthält, dann ist (an)
konvergent.

Über Lösungen wäre ich wahnsinnig dankbar. :-)

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Apfelesser aktiv_icon

08:49 Uhr, 29.11.2018

Push :-)

ermanus aktiv_icon

09:03 Uhr, 29.11.2018

Hallo,
zu 1.:
(a): hat eine beschränkte Folge immer eine konvergente Teilfolge?
(b): Bastel eine Folge, die abwechselnd 0 und 1 wird und "fälsche" sie
durch den Summanden

1 / n

ab.
(c): Mach dir z.B. Gedanken über

1, 1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots

.
Gruß ermanus

anonymous

23:19 Uhr, 29.11.2018

a) z . B . :

a_{n} = (1 + {(- 1)}^{n}) \cdot sin (n) + (1 - {(- 1)}^{n}) \cdot cos (2 \cdot n)

Apfelesser aktiv_icon

09:26 Uhr, 01.12.2018

Habe es dank eurer Ansätze gut lösen können, denke ich. Mal schauen, was die Bewertung sagt. Dankeschön Leute!

pepe1 aktiv_icon

19:22 Uhr, 01.12.2018

Zu a)Satz von Bolzano-Weierstraß:
Jede beschränkte Folge reeller (komplexer) Zahlen enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.
Also besitzt die beschränkte Teilfolge wiederum eine konvergente Teilfolge.
Zu

b) z . B

. Folge

a_{n}

mit

a_{n = 2 k} = \frac{1}{2 k}

und

a_{n = 2 k + 1} = 1 - \frac{1}{2 k + 1}

Zu 1c)es gibt Bsp. (s.Lit.)
Zu 2a)alle Teilfolgen müssen denselben Grenzwert haben
zu

2 b)

Wäre

a_{n}

konvergent, dann müßte jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergieren...=>

a_{n}

divergent

2 c) | a_{n_{i}} - a | < ε

für

i \geq N \Rightarrow

wegen der Monotonie

| a_{n} - a | < ε

für

n \geq M = n_{N},

also die Konv. von

a_{n}

1450263

1449779

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